Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами - Дейрменджан Д.
Скачать (прямая ссылка):
'¦i
где п (г) — непрерывная и интегрируемая функция, определенная в этом интервале. Она представляет собой счетную концентрацию частиц в единице объема при единичном приращении радиуса г.
Удобнее функцию распределения п(г) выразить через параметр размера x—kr~2nr/k. Таким образом, в качестве независимого параметра вводится длина волны к. Необходимость этого очевидна, поскольку для большинства веществ показатель преломления т зависит от
длины волны %. Если функция распределения учитывает наличие частиц всех размеров в данном объеме, то приведенный выше интеграл можно представить в виде
О?
N — k~l п (х) dx, (79)
о
где п(х) получается заменой переменной в п(г). Подставив (79) в (78), находим выражение для объемного коэффициента рассеяния
00
Ррас [^> и М] л^~3 $ х2п (х) /Срас (х) dx. (80)
о
Умножая числитель и знаменатель правой части формулы (75) на nk~3 п(х) и интегрируя их отдельно, получаем выражения для соответствующих элементов нормированной матрицы рассеяния в случае по-лидисперсных частиц
00
pj(Q)=--?^-\n(x)iJ-(e)dx, /-1,2, 3,4. (81)
Hpac q
Функции (80) и (81) используются для нахождения параметров Стокса, характеризующих элементарный процесс рассеяния в случае поли-дисперсных частиц (77).
Теперь остается исследовать произвольную функцию распределения п (г), на которую накладывается только требование непрерывности и интегрируемости в интересующем пас диапазоне размеров.
3.4. ВИД И СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ ПО РАЗМЕРАМ
Так же как при получении предварительных результатов [151, выберем семейство функций распределения в общем виде
п (г) — аг« ехр (—Ьг7), О^г^оо. (82)
90
Теория рассеяния света
При г-0 и г- оо имеем п (г)=0. Будем называть функцию п(г) модифицированным гамма-распределением по аналогии с обычным гамма-распределением, которое получается при у -1. Четыре константы а, а, b и у — положительные и вещественные числа (а — целое число). Они связаны друг с другом и характеризуют плотность распределения частиц по размерам, которую можно определять экспериментально. Например, интегрируя по всей области изменения радиусов г, получаем
СО , , \
N - « Цл“ехр(- bri)dr ay-'b-^aJ-'"'v Г Г—— ) > (83)
о
т. е. константа а определяется общим числом N частиц в единице объема. Продифференцировав выражение (82) относительно г, находим
dn^- ~ ara~l (а — ybri)exр (- - Ьг¦). (84)
Функция (84) имеет три простых нуля: два из них находятся при г=0 (если а>1) и г—оо. Если а ~1, то производная dn (r)/dr при г-~0 равна а. Положение третьего нуля можно найти, положив множитель (а—у Ьг1) равным нулю. Отсюда определим значение г---гм, при котором функция (82) имеет абсолютный максимум, т. е.
и
п (г,,) - arl exp ( — ^-) . (86)
v У /
Таким образом, константа Ь полностью определяется модальным радиусом гм, при условии что значения а и у фиксированы. В противном случае величина Ь находится но виду экспериментальной кривой распределения.
Можно перечислить и другие величины, характеризующие свойства модифицированного гамма-распределения: математическое ожидание, дисперсия и т. д. Эти величины обычно используются для описания статистических функций распределения, но для целей настоящей монографии они не имеют особого значения. Некоторый интерес представляет собственный объем V частиц, заключенных в единице объема среды. Зная V, можно получить массу частиц в этом объеме. Величина V определяется интегралом, который получается после умножения п(г) на 4/3 пгЛ и интегрирования по г:
сс
V —- -4-азт С г* •ехр (-- bri)dr — алу~1Ь~(а + 4) ’Г ( . (87)
о
В случае у~- 1 использование известного функционального уравнения
Глава 3. Однократное рассеяние Системой частиц
91
для гамма-функций и формулы (83) приводит выражение (87) к виду
V — b-:tN (а -\ 1)(а4-2)(а |-3), у 1.
(88)
Другой величиной, представляющей интерес, является логарифмическая производная от п(г). Ее можно сравнивать со степенной функцией распределения, согласно которой я(г)~г“а. Дифференцируя логарифм функции (82) относительно In г и используя (85), получаем
г^|1пп(г)] — а—Ьуг\- - а
1
-LV
г«)
(89)
Формула (89) дает тангенс угла наклона кривой lg п (г) в зависимости от lg г. Из нее следует, что для а>0 графики всех функций (82) в логарифмическом масштабе представляют собой выпуклые кривые, не имеющие точек перегиба. Тангенс угла наклона этих кривых равен а при г=0 и стремится к —оо при г-»—|-оо.
3.4.1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ НА ПРАКТИКЕ
Можно получить большое число характерных распределений, основанных на общем виде функции распределения (82). Как указывалось во введении, наша задача состояла в составлении подробных таблиц числовых значений всех элементов вектор-параметра Стокса для каждого из таких распределений. Поэтому возникает проблема оптимального выбора параметров функции распределения (82): необходимо, чтобы общее число таблиц не превышало разумных границ и в то же время охватывало значительное число модельных функций распределения, которые оказались бы наиболее полезными при исследовании проблем рассеяния света атмосферными и космическими частицами. После тщательного рассмотрения экспериментальных данных, относящихся к различным типам распределений, были выбраны 6 основных моделей, представленных в табл. 5 и на рис. 20 и 21.
