Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами - Дейрменджан Д.
Скачать (прямая ссылка):
76
Теория рассеяния света
получаем из (42)
(,Ay--('^Ly_2^icos6 = sin*6. (43)
V «1 У ' \аг 1 а\а2 v
Это общая форма уравнения эллипса, описываемого концом вектора электрического поля. Большая и малая оси этого эллипса вдоль направлений ? и т} необязательно совпадают с осями координат / и 2, а образуют с ними угол %. Чтобы определить угол х, произведем стандартный поворот координатных осей 1 и 2 при помощи матрицы преобразования
Е.^ / cos х sin %
E.J~ \ — sin 7 cos x
Ег
которая дает компоненты поля вдоль направлений ? и rj. Используя
(42), получаем
Е. - ах sin -ф cos % ~\~ sin (-ф -f б) sin %,
Е - - — ах sin г|з sin % + а, sin (-ф '-б) cos х-
Раскрывая тригонометрическое выражение sin (гр j-б), предыдущие формулы перепишем в виде
(44)
(45)
ЕЕ — А, sin -ф -|- А.г cos -ф,
Еъ - А3 sin -ф |- А4 cos -ф,
где
Аг = aL cos х + а2 sin % cos б, Аг = a.L sin 6 sin %,
Аз =—аг sin % + a2 cos x cos 6, A 4 = a2 sin 6 cos x-
Исключая угол г|э из системы (44), после упрощений находим
о A? J-о Л,Л3 + Л2Л4 г7 г4 1 / л с \
Л3 —ра I ^1 — ^2 с2 2 = 1. (46)
дъ ' А2, "
Используя соотношения (45) и производя стандартные преобразования, полагаем
А2 == (Аг А4 — А.гА3)- — (ага., sin б)2 0.
Следует подчеркнуть, что уравнение (46) не имеет смысла, если Аг=0. Последнее равенство выполняется, когда sin б—0, т. е. д — пл, где п — любое целое число, включая пуль. В случае 6--0 эллипс поляризации вырождается в прямую. Заметим, что при помощи указанного выше поворота осей уравнение эллипса (46) можно привести к нормальной форме
ФЧ*)’-1-
при которой центр эллипса находится в начале координат, а большая а
Глава 3. Однократное рассеяние системой частиц
11
и малая b полуоси располагаются соответственно вдоль направлений ? и г). Сравнивая нормальную форму с общим видом уравнения (46), отмечаем, что третий член в левой части (46) пропадает, т. е.
AtA3 + А„А4 - 0.
Используя выражения (45), после группировки членов и упрощений получаем
aLa.z cos 2%cos8 _-L(al— a2) sjn 2^,
или
, „ 2a,a2 c°s 6 ,.-7*
^2%= «* "a* • (47)
CLi —#2
Будем считать, что соотношение (47) справедливо даже и тогда, когда Й!—±«2, т. е. cos 2%^~0. В этом случае х— (2n-f I) л/4 и имеется неопределенность относительно квадранта плоскости (/, 2), в котором лежит
главная ось эллипса. Эта неопределенность устраняется, если известна разность фаз б.
Выведем теперь из (46) другие соотношения, используя определения большой и малой полуосей эллипса поляризации. При условии, что уравнение (47) остается справедливым, имеем
Л О до
Ь2
т. е.
Al + Al Ai + Ai
J_ - 1 At + Al + Al + Al
a2 ~r ft2 Л2
Из соотношений (45) следует, что числитель в правой части последнего уравнения обращается в а\-\-а\. Используя указанное выше выражение для Л2, получаем
а2-! 62 а\А-а\ ^
а262 (aja2 sin б)2
Теперь можно показать аналитически (однако формулировку и вывод приводимой ниже теоремы нельзя найти в учебниках по аналитической геометрии), что для рассматриваемого эллипса поляризации длина
диагонали D любого описанного около него прямоугольника,
т. е. расстояние 20'R на рис. 19, б, является инвариантной
D2 - (2а)2 4- (2bf
для всех углов %. Отсюда следует, что для всех % имеем
ajf-ra!^-a2-t-b2. (49)
Поэтому, сравнивая (49) с (48), получаем
ab = ±ауаг sin6. . (50)
78
Теория рассеяния света
Важные соотношения (47), (49) и (50) были получены другим путем Борном и Вольфом [45, стр. 26, 27], а также Чандрасекаром [40, стр. 25— 291, который первый возобновил использование параметров Стокса в задачах переноса излучения.
Прежде чем получить выражения для параметров Стокса, необходимо вывести еще несколько дополнительных соотношений. Определим угол Р следующим образом:
Используя обычные свойства алгебраических отношений и некоторые тригонометрические тождества, получим
Аналогичным образом введем другой вспомогательный угол а:
Получим теперь соотношения между четырьмя параметрами Стокса I, Q, U и V для полностью поляризованного потока излучения и такими параметрами поляризации, как углы % и |3. Для этого определим параметры Стокса следующим образом *):
*) Автор признателен Ховеииру и ван де Хюлсту, которые в частной беседе указали на то, что параметр V должен иметь знак «минус» [43, стр. 418; 41, стр. 48; 1, стр. 41] в соответствии с определением фазовых углов и их разности по (42).
Ь
tgp. -т<Р<т-
а
(51)
--tg«, 0<а<-=-
2 ’
который удовлетворяет соотношениям
2а. а.
(52)
После подстановки (52) в (47) имеем
tg 2Х — tg 2а cos б. Наконец, разделив (50) на (49), получаем
(53)
(54)
Из (51), (52) и (54) находим
sin 2(i —- sin 2а sin б.
(55)
/ 5= а\ + а\,
Q = a\ — a\,
U = 2ata2 cos б,
(56)
— V = 2ala2 sin б.
Г л а в а 3. Однократное рассеяние системой частиц
79
Соответствующий переходный множитель между потоками энергии и квадратами амплитуд электрического поля ради простоты в тождествах (56) опущен. Возводя в квадрат все четыре параметра (56) и затем складывая их, замечаем, что
/* Q4 (57)
Это равенство справедливо только в том случае, когда рассматриваемый поток излучения полностью поляризован.
