Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами - Дейрменджан Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 5. Примеры комплексных коэффициентов ап( х) и Ьп(х) для металлических сферических частиц (яг-1,28—l,37i)- Радиус предельной окружности (пунктирная
кривая) равен 0,26285.
радиуса 0,5 с центром (0,5 ; 0) на вещественной оси [1, стр. 135]. Это равносильно условиям
которые при отсутствии поглощения служат хорошей проверкой точности расчета коэффициентов ап и Ь„ по любой вычислительной программе.
42
Теория рассеяния света
Если нанести, например, значения коэффициента at(x) для 1,29 на комплексную плоскость (рис. 4, а), то при постоянном Ах конец вектора мнимой части этого коэффициента, двигаясь с переменной скоростью, описывает окружность в направлении часовой стрелки. На рис. 4, а проведена маркировка соответствующих точек.
При добавлении небольшой мнимой части к вещественному показателю преломления т (случай поглощающих сферических частиц) вместо окружности получаем спираль, закрученную внутрь. На рис. 4, а она показана пунктирной и сплошной линиями, которые соответствуют коэффициентам ах (х) и 6, (х) при т= 1,29—0,0472 i. Начиная с некоторых значений аргумента х на спирали образуются небольшие петли, направленные против часовой стрелки. Они локализуются вблизи тех значений х, где движение производящей точки соответствующей внешней окружности «замедляется». Это видно, например, вблизи х- -5, 7 и 10 для ai(x). Эту особенность можно отнести за счет поведения функции Ап(у). Однако в дальнейшем мы не будем останавливаться на этом вопросе. Графика, (х) для т- 2,22—0,022/ (рис. 4, б) имеет другую интересную особенность: равномерно расположенные «пики» с ростом jc превращаются в петли.
Поведение коэффициентов Ми в случае металлических сферических частиц показано на рис. 5, где на комплексной плоскости нанесены значения ах (х) (сплошная кривая) и Ьх (х) (штриховая) для т~-1,28—1,37г. Характер этих кривых совершенно отличен от поведения соответствующих коэффициентов Ми в случае непоглощающих и слабо поглощающих шаров. При увеличении jc производящая точка для а, (х) движется более плавно, образуя единственную петлю. При дальнейшем увеличении х ее движение направлено против часовой стрелки по окружности, радиус которой медленно возрастает, стремясь к некоторому асимптотическому значению. Производящая точка для Ьу (х) ведет себя подобным образом, за исключением того, что радиус окружности уменьшается, стремясь к тому же асимптотическому значению. Согласно ван де Хюлсту [1, стр. 279], радиус предельной асимптотической окружности должен быть равен половине абсолютного значения коэффициента отражения Френеля в случае нормального падения излучения [ср. формулу (30) и табл. 2 в разд. 2.3.2], т. е.
1 т— 1 1 ['(V— 1)2 + х2'
2 т |- 1 2 (V+ I)2 -|-х2
В рассматриваемом примере это хорошо иллюстрируется положением предельной окружности на рис. 5, имеющей радиус, равный 0,26285. Однако в действительности производящие точки стремятся к предельной окружности более медленно. Это можно увидеть, сравнивая значения 1^ (х)—0,5|2 и \bi(x)—0,5|2 в представленной ниже таблице с точным значением 0,06909 квадрата радиуса предельной окружности, определяемого формулой (23):
Г л а в а 2. Рассеяние света отдельными частицами
43
: 1,28 — 1,372.
X а, (х) — 0,5 6, (х) — 0,5 а, (л:) — 0,512 (*) — 0,5;2
20 — 0,22686—0,12863 i 0,22864 +0,13377 i 0,06801 0,07017
30 0,23619—0,11484 i —0,23678+0,11463 i 0,06898 0,06920
50 —0,06537 40,25451 i 0,06556—0,25462 i 0,06905 0,06913
72 —0,06681 40,25418 г 0,06690 —0,25423 i 0,06907 0,06911
Значения коэффициентов ах(х) и Ьх(х) для х=50 и 72 были получены при использовании двойного контроля точности. Следует заметить, что отклонения производящих точек для ах(х) и Ьх(х) от предельной окружности при данном значении х почти равны и противоположны по знаку. Другая интересная особенность, на которую ранее не указывалось, состоит в том, что при увеличении х и приближении к асимптотической окружности значения коэффициентов ах(х) и Ьх(х) находятся почти точно на противоположных концах ее диаметра.
На рис. 5 приведены также части кривых для коэффициентов ап(х) и Ьп(х) при п^=2 и п= 10. Это сделано для иллюстрации того факта, что характер этих кривых аналогичен, но не полностью идентичен траекториям при п~ 1. Таким образом, справедлив следующий общий вывод: для металлических сферических частиц конечного размера в случае достаточно больших х, но при п^.х значения ап(х) всегда находятся внутри предельной окружности. Значения Ьп(х) всегда находятся вне этой окружности для всех значений х и п. В предельном случае п/х<^. 1 имеем
[ап{х) 4-Ьп (*)] - 1,
Пш
(*)-
пт
с -* _1_
2
= Нш
Ьп (*)-¦§-
т— 1
т-\-1
(24)
Для неметаллических, но умеренно поглощающих сферических частиц коэффициенты ап и Ьп при х-*-оо также стремятся к предельной окружности. Это видно из рис. 4, а, где значения коэффициента ах{х) при х=30, 40 и 50 располагаются по окружности, радиус которой мал и, согласно формуле (23), равен 0,06414 при т= 1,29—0,0472г. Предельные соотношения (24), видимо, также выполняются в этом случае, хотя они достигаются очень медленно. Например, для х=50 имеем ^1=0,45160+0,03498 i и 6^0,55511—0,04076 i. То же самое относится и к случаю, представленному на рис. 4, б.
