Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами - Дейрменджан Д.
Скачать (прямая ссылка):
38
Теория рассеяния света
функций Бесселя большого комплексного аргумента и большого порядка
^П (y)l Jn + L (У)>
где п-»-1у\ для любых направлений. Асимптотические разложения функций Бесселя, полученные Ватсоном [24, стр. 244], могут быть полезны при исследовании поведения этого отношения в критической области. Однако использовать эти разложения при проведении конкретных расчетов на ЭВМ, очевидно, практически возможно.
Как видно из рис. 1, в случае металлических частиц коэффициент А„ (у) в комплексной плоскости имеет вид плавной монотонной функции от п. Одпако в случае умеренно поглощающих и непоглощающих сферических частиц, когда нетрудно использовать однократный контроль точности при расчетах по рекуррентным формулам, функции Ап (у) осциллируют с большой амплитудой. Это видно из рис. 2, на котором в комплексной плоскости изображен график функции Ап (у) для х—30
71
Рис. 3. Вещественная функция Ап{у) для непоглощающих диэлектрических сфер (т~--1,29). Расчетные точки соединены прямыми линиями.
ит=1,29 — 0,0472 г. Совершенно очевидно, что при непрерывном (а не дискретном) возрастании п через расчетные точки в направлении против часовой стрелки можно провести непрерывную кривую в форме спиральных петель, как это показано для «>20. При увеличении п амплитуда кривой растет. Наконец, при п>\у\ петля «раскрывается», переходя в положительной полуплоскости в плавную кривую.
Г лава 2. Рассеяние света отдель^ьши частицами
39
При отсутствии поглощения аргумент у — вещественное число, Ап (у) — вещественная функция. Ее поведение аналогично описанному выше и показано на рис. 3. На этом рисунке приведен график функции Ап (у) для т= 1,29 и х=30, а также конечные части графиков для х=40 и х~50. Большие осцилляции при п<1у переходят в монотонно возрастающую кривую, которая при п^у стремится к некоторому постоянному значению. Это — следствие хорошо известного свойства функций Бесселя постоянного вещественного аргумента при увеличении их порядка. Заметим, что осцилляции функции Л„ (у) в области n<Ly являются нерегулярными и могут стать довольно большими, поскольку, согласно рекуррентному соотношению (20),
Ап(У)—*°° при Ап^1 (у).
Эти условия могут выполняться на практике. Однако в этих случаях значения коэффициентов Ми, вероятно, не изменяются, поскольку функции Ап (у) входят и в числитель, и в знаменатель выражений (17) и (18). Например, для т- 1,29 и х=46 получаем А6 (у)-^252,68, но а6 (т, х)=-0,38735+0,48715/ и Ьа (т, х)=^0,38539+0,48669 /. Оба эти коэффициента попадают точно на соответствующую окружность в комплексной плоскости (разд. 2.3.1 и рис. 4).
Подводя итог всему сказанному выше, приходим к заключению, что использование на современной ЭВМ соответствующим образом составленной программы расчета в принципе не должно встретить каких-либо трудностей при вычислении коэффициентов Ми в случае непоглощающих сферических частиц произвольного размера. Можно также сделать вывод, что в этом случае благодаря возможностям современной вычислительной техники задача Дебая полностью решена. Это видно, например, из работы Кверфелда [251, который получил значения функции рассеяния для х«8000 и вещественных показателей преломления т. Однако для поглощающих сферических частиц большого размера проблема, подобная задаче Дебая, остается все еще полностью не решенной.
Так, из рассмотренных в настоящей монографии примеров следует, что, когда используется IBM 7040/44 или другая ЭВМ подобного ей типа, для расчета функции Ап (у) в критической области п-^\тх\ при 1ш{тх}^30 всегда необходимо применять или двойной контроль точности, или некоторые подходящие асимптотические формулы. В противном случае могут получиться физически неприемлемые результаты.
2.3. ПРИМЕРЫ ПАРАМЕТРОВ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОТДЕЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
Первоначальные результаты, относящиеся к рассеянию света отдельными частицами в случае слабого поглощения, описаны в ранее опубликованной работе автора [26]. В дальнейшем они были дополнены и уточнены автором в двух публикациях корпорации «Рэнд», которые
а
0,4
-0,2
-0,4
0 0,2 0/7 0,6 0,8 1,0
R е{а„Ь,}
б
Re{a,}
Рис. 4. Примеры комплексных коэффициентов ^(х) и ^(х). Значения дг указаны на кривых, а — внешняя окружность (пунктирная кривая с радиусом 0,5): диэлектрические сферические частицы, т—1,29. Другие кривые: аг(х) — штриховая и Ь^х) — сплошная, т—1,29—0,0472 i. Радиус предельной окружности (пунктирная кривая
1
в центре) равен -у
т-1
т+1
-0,064)5. б — aL(x) при т—2,22—0,022 i. Радиус предель-
ной окружности (пунктирная кривая) равен 0,1894.
Глава 2. Рассеяние света отдельными частицами
41
хотя и были открытыми, но все же имели ограниченное распространение [27, 28].
Ради полноты изложения кратко рассмотрим полученные ранее результаты, дополненные позднее новыми данными и включенные в настоящую работу, а также сравним их с некоторыми предельными случаями, где это возможно.
2.3.1. КОЭФФИЦИЕНТЫ МИ ап И Ьп
Для непоглощающих сферических частиц с конечным значением показателя преломления т коэффициенты ап и Ьп при нанесении их на комплексную плоскость должны всегда попадать на окружность
