Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Дейрменджан Д. -> "Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами" -> 11

Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами - Дейрменджан Д.

Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами — М.: Мир, 1971. — 301 c.
Скачать (прямая ссылка): rasseyanieelektromagnitnogoizlucheniya1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 97 >> Следующая

ОС
Косл (tn, x) = ^Re{S (т, х, 0)} ? (2п+ 1) Re (<!„ + &„). (6)
/7=1
Формулы (1), (2), (5) и (6) определяют основные параметры теории рассеяния Ми. Из них можно вывести все остальные величины, необ-
Глава 2. Рассеяние света отдельными частицами
31
ходимые для описания интенсивности и поляризации излучения, рассеянного отдельной частицей. Из дальнейшего изложения будет видно, что эти параметры обеспечивают также необходимую информацию в случае рассеяния света достаточно малым объемом полидисперсион среды. Тем самым они определяют основные параметры задачи лучистого переноса в протяженной среде, состоящей из полидисперсных частиц.
2.2.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОРМУЛ МИ К ВИДУ,
УДОБНОМУ ДЛЯ РАСЧЕТОВ НА ЭВМ
Значения основных функций рассеяния полностью определяются точностью вычисления коэффициентов Ми ап и Ьп. Эти коэффициенты зависят только от величин т и х, а также угловых коэффициентов я„ и т„ (которые являются функциями только от |a~-cos 0). Расчет коэффициентов л„ и т„ не представляет трудностей, поскольку они могут быть выражены через полиномы Лежандра и их производные 11, стр. 1241:
— полиномы Лежандра целого порядка п от вещественного аргумента. Используя хорошо известные рекуррентные соотношения между этими полиномами и их производными, легко показать, что коэффициенты (7) также удовлетворяют некоторым рекуррентным соотношениям. Это обстоятельство позволяет находить коэффициенты п„ (0) и т„ (0) без использования рекуррентных формул для полиномов Лежандра P„(fi) и их производных dPn (n)/d|a. Таким образом, имеем
¦'яОО -— 0 — Рг)-Щ[пп(Р) ( —(7)
где
л„ (0) = cos 0 n„_l(0)-^ я„_2 (0),
тп (0) = cos 0 [я„ (0)—я„_, (0)] —(2/г — 1) sin- 0я„_, (0) + + т„_2(0) (О<0<я),
(8)
где
ло (0) — О, ^(0)= 1, я2 (0) = 3 cos 0,
т0 (0)^=0,
Tj (0) =cos 0, т2 (0) — 3 cos 2 0.
Соотношения (8) легко запрограммировать для расчетов на ЭВМ. Заметим, что при направлениях, точно соответствующих рассеянию вперед (0=0) и назад (0~л), коэффициентыя„(0) и т„(0) определяются
32
Теория рассеяния света
по формулам
(9)
Подставляя (9) сначала в (1), а затем в (2), получаем, что Si (0) — -•=S2 (0). Таким образом выражение для коэффициента ослабления и его явная форма в виде формулы (6) непосредственно воспроизводятся в формулировке Ми.
Преобразуем теперь выражения для коэффициентов Ми ап и Ьп к виду, удобному для проведения вычислений. Напишем для них выражения, принятые в монографии ван де Хюлста 11, стр. 123]:
где функции Рикатти — Бесселя г|)„ (х) и ?„(*) выражаются через функции Бесселя 1-го рода порядка п-]-1/., следующим образом:
Определение функций Jn + 'l2{z) и N n+t/t(z) имеется, например, в [1, стр. 123; 24, стр. 52—54].
Функции Ап(у), входящие в (10) и (11), равны
где у=тх. Дифференцирование функции по аргументу обозначено штрихом. В случае комплексного показателя преломления т (поглощающие сферические частицы) функции Ап (у) зависят от функций Бесселя комплексного аргумента.
Используя рекуррентные формулы для функций Бесселя произвольного порядка и аргумента [24, стр. 45], можно показать, что
Ап (У) tn (x) — milp'n (х) Ап(у)Ъп(х) — т?п(х)'
(10)
^ _mAn(y)^n(x) — ji'„(x) тАп(у)1„(х) — ^п(х)
(11)
^(2)=
CB(z)= у ?f[Jn+'/Az)—iNn+ •/,(*)] =
= у ^riJn+wAz:ж- 1 Ги-п-чА*))- (12)
Глава 2. Рассеяние света отдельными частицами
33
tn(x) — ~У ~2~ (х) х Jn + '/2(х)
— ( -1 )"1 (х)-| YJ-n-'/AX) j-•
Подставляя эти выражс'ния в (10) и (11) и группируя члены, получаем после некоторых упрощений
(т, х) = { + -J] /в+,/, (х) (х)} х
X
Ап (у) I 1
Ьп (т, х):
¦{
х
[Jn+'/zix)-1 ( 1)" г/_„_1/2(х)]
_[/„_,,,(*)-(- 1 )»»/_„ + ./, w]}"1, (13) ^„(*/) Гу -Л.+‘/, (*) — /n-v.wjx
^„(*/)4 Y [/„ + •/,(*) + (-- l)"^-«-V2W] —
— — (•- 1)si7_„+./2 (x)]J- \ (14)
Выражения (13) и (14) почти одинаковы, за исключением множителя при Ап (у).
Функции Бесселя вещественного аргумента, входящие в (13) и (14), выражаются через круговые функции wn, которые определяются при помощи следующего рекуррентного соотношения:
(x)=--^—^-w„-1 (x) — W„-i(x).
(15)
где
/'47
wo (х) = sin х—i cos x — у [J>/z(x)4-t/_v2 (x)],
kj_1(x) = cosx — i sin x — у [/_¦.-,(*)— t/i/2(x)]. В частности, из (15) получаем
, ч Щ(х)
W1 (X) — -Л!-' — W_
.(*) = [A',(*) — *V _./,(*)],
a»g(*)-=4 W—“'«(JC)= У Цг [A-.W + ^-v.W]•
В общем случае
|/ ^ l/»+V. (*) + (— 1)" (jc)],
(16)
что соответствует определению функции wn через функции Jn + i/t(x) и У-n-Vs М 124, стр. 53 и 54]. Сравнивая функции (16) с функциями (13) и (14), замечаем, что множитель (ях/2)1'2 является общим в числи-
3 № 1770
34
Теория рассеяния света
телях и знаменателях выражений (13) и (14). Поэтому формулы для коэффициентов Ми можно записать в другом виде
а„ (т, х)
Ьп (т, х) -=
" л„ (у) . п ' ¦- Г т х Re {ai„(x)} -Re {ш„_, (х)}
Л„ (у) . П т х W„ (x)—W„-l(x)
тЛп (у) Re {wn (х)} — Re (*)}
тАп (у) + — Wn(x)—Wn- i (лг)
(17)
(18)
За исключением коэффициентов Ап(у), выражения (17) и (18) записаны в форме, удобной для проведения расчетов на ЭВМ с использованием рекуррентного соотношения (15). Заметим, что функции wn (х) совпадают с функциями Рикатти — Бесселя ?„ (г) в (12), причем аргументы в этом случае вещественны.
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed