Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
одной материальной точки, а системы взаимодействующих частиц (частицы
могут притягиваться в соответствии, например, с законом всемирного
тяготения илн могут быть связаны нитями, соединенными невесомыми
стержнями и т.д.). Такие задачи могут быть решены только в некоторых
частных случаях прн условии, что система частиц замкнута, а внутренние
силы консервативны (т.е. справедливы законы сохранения импульса и
механической энергии). В системе центра масс частицы при определенных
условиях могут двигаться по окружностям, центры которых совпадают с
центром масс. Для системы двух илн трех взаимодействующих частиц такие
задачи решаются на основании уравнений (4.7)-(4.8) или (4.10)-(4.11).
Если число неизвестных оказывается больше числа уравнений динамики, то
недостающие соотношения между величинами, фигурирующими в задаче,
составляют на основании формул кинематики, законов сохранения импульса н
энергии. В общем случае, если в системе действуют неконсервативные силы,
например силы трения н сопротивления, то определение закона изменения
скорости движущейся частицы прн ах * 0 выходит за рамки школьной
программы, так как в таких случаях требуется решать дифференциальные
уравнения.
Задачи
Движение в горизонтальной плоскости-
4.1. Шарик подвешен на тонкой нерастяжимой нити длиной / = 50 м к краю
горизонтального диска радиусом R = 20 см (рис. 4.6). Диск приводят во
вращение вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью надо вращать
диск, чтобы нить с шариком отклонилась от вертикали на угол а = 30°?
159
R-*i
,-"~x
mg
• Решение. При вращении диск будет увлекать за собой нить с шариком.
При движении по окружности у шарика появится нормальное ускорение ~ап,
направленное горизонтально к осн вращения диска. Поскольку сила тяжести т
g направлена вертикально, то, очевидно, наличие будет обусловлено силой
натяжения нити 7. Следовательно, шарик будет двигаться по окружности
радиусом г > R так, чтобы сила 7 давала положительную проекцию на нормаль
7? к траектории, т.е. нить должна отклониться от вертикального положения
на некоторый угол а.
Рнс. 4.6
Выберем сопровождающую систему отсчета, связанную с шариком, как показано
на рнс. 4.6, и запишем уравнение движения в проекциях на оси ОХ и OZ в
виде
ОХ: т со2 г = Т sin ос, (1)
02: 0 = Tcosa-mg, (2)
где о - угловая скорость шарика, равная угловой скорости диска; г = R + 1
sin а - радиус окружности, описываемой шариком.
Выразив из (2) силу натяжения нити
T--HLS.
и подставив в (1)
получим
Отсюда находим
cos а
m со (/? + / sin а) =
_mg_ cos а
sin а,
_л/ gtga
со' (R +1 sin а) = g tg а.
, =V 8 и 3 5 рад/с
R + l sin а
Ответ: со = V -6 **- и 3,5 рад/с.
R +1 sin а
4.2. Шарик массой т = 1 кг, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити
длиной / = 1 м, вращают в горизонтальной плоскости с постоянной угловой
скоростью, совершая один оборот за секунду. Определить величину силы
натяжения нити и угол, который образует нить с вертикалью.
4.3. Металлический стержень длиной / = 1 м закреплен на вертикальной оси
00' под углом а = 30° к ней (рис. 4.7). К нижнему концу стержня
прикреплен шар массой т = 1 кг. Ось 00' приводят во вращение с угловой
скоростью о = 10 рад/с. Определить величину силы, действующей на шар со
стороны стержня.
4.4. На горизонтальном диске, который может вращаться вокруг
вертикальной оси, лежит шайба массой т = 150 г. Шайба соединена легкой
пружиной длиной в недеформированном состоянии /0 = 20 см с осью диска.
Определить жесткость пружины, если при угловой скорости диска 160
т
? ynp ¦ ^ " JO
- ?
тр шах
03
mg
(0 = 4 рад/с пружина растягивается на Дх = 2 см. Коэффициент трения между
шайбой и поверхностью диска ц = 0,2.
• Решение. Прн вращении за счет силы трения диск будет увлекать за
собой шайбу. Если угловая скорость диска будет осгвваться постоянной, то
у шайбы будет только нормальное ускорение а", направленное горизонтально
к оси вращения диска.
Прн движении на шайбу в горизонтальном направлении могут действовать
Р|>р А О
сила трения и сила упругости пружины. ггк" °
Если угловая скорость диска недостаточно велнка, то пружина будет
оставаться в недефор-мнрованном состоянии, и ускорение аи будет
обусловлено только силой трения покоя ^тр пок • С увеличением угловой
скорости сила пок достигнет максимального значения Ftp max = ц N, н при
дальнейшем росте угловой скорости шайба начнет скользить, растягивая
пружину. Если прн этом угловая скорость перестанет меняться, то в
установившемся состоянии на шайбу будут действовать сила трення тах и
сила упругости пружины ?упр, направленные к оси вращения диска (рис.
4.8).
Выберем сопровождающую систему отсчета, связанную с шайбой, и запишем
второй закон Ньютона в проекциях на оси ОХ н OZ в виде
ОХ:
г - F + F
1 1 тр шах 1 упр>
т со
OZ: 0 = N -mg, где г = 10 + Ах - расстояние от оси вращения до шайбы
(1)
(2)
С учетом выражений для сил трения max = ц .V упругости FvnD = к Ах из (1)
- (2)
получим
