Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(4.7) получим, что угловые скорости частиц одинаковы:
1 = ^ f\-2 /тг г2 ¦ (4-8)
со, =(02=vF2_x /тх г. Если замкнутая система состоит из трех
взаимодействующих частиц массами тх, т2 и т3, то в системе центра масс их
радиус-векторы ~г-соотношением тх г Это, в частности, означает, что все
три частицы и их центр инерции всегда лежат в одной плоскости, причем
центр инерции расположен внутри треугольника, образованного частицами
(рис. 4.4).
х+т2<
г-, связаны > -^
, + т3
Рнс. 4.4
157
Для того чтобы частицы совершали синхронные (с одинаковыми угловыми
скоростями) движения по окружностям радиусами _л, }Z и , результирующие
силы притяжения Fx = F2_t + F3_x, F2 = гх_2 + F3_2 и F3 = Fx_з + ?2_ъ
должны быть направлены в любой момент времени к центру инерции системы, а
их абсолютные величины подчиняться соотношению
Fx : F2 : F3 = тх гх :т2г2 : тъ г3,
(4.9)
которое вытекает из второго закона Ньютона, записанного для частиц
тх, т2 и тъ
тх а"
¦¦ т
т.
т-, а
¦'гг 1 -'"1 0)2
, = т2(й2 r2 = F2, (4.10)
= тъ со2 r3 = Fз-
Эти условия выполняются, например, для системы трех одинаковых
взаимодействующих частиц (тх = т2 = т3 = т), расположенных в вершинах
равностороннего треугольника (рис. 4.5). Центр инерции такой системы
расположен на пересечении медиан (в равностороннем треугольнике медиана,
гипотенуза и высота совпадают), и результирующие силы взаимодействия
гх,г2 и?3 всегда направлены к центру инерции, а их величины FX=F2 = F3,
что согласуется с условием (4.9), так как тх гх = т2г2 = тъ г3. В
результате все три частицы могут синхронно вращаться вокруг центра
инерции с угловой скоростью (см. формулу (4.10))
ш = V Fx /тх гх (4.11)
Рекомендации по решению задач
Решение задач на динамику движения материальной точки по окружности ничем
принципиально не отличается от решения задач на динамику поступательного
движения. В некоторой степени эти задачи даже проще, так как при
составлении уравнений движения нет необходимости в выборе удобной системы
отсчета для той илн иной конкретной задачи. При движении тела по
окружности наиболее удобным представляется использовать систему отсчета,
жестко связанную с движущимся телом, - сопровождающую систему отсчета.
Координатные осн этой системы представляют собой тройку взаимно
перпендикулярных векторов: одна направлена вдоль вектора нормали 7? к
траектории движения точки и лежнт в плоскости окружности, по которой
движется частица; вторая - вдоль вектора т*, также лежащего в плоскости
окружности н направленного по касательной к траектории в произвольно
выбранную сторону; третья ось перпендикулярна плоскости окружности.
С учетом выражений для нормального н тангенциального ускорений, уравнения
движения в проекциях на оси сопровождающей системы отсчета имеют вид
(4.2).
Задачи на динамику движения материальной точки по окружности можно
разделить на три группы.
Первую группу составляют задачи на движение материальной точки в
горизонтальной плоскости. Если движение происходит с постоянной по модулю
скоростью (ах = 0), то для
158
r\ = Fi> = F-,.
з "из
решения задачи обычно достаточно двух уравнений движения: в проекциях на
направление нормали п н на ось 02 сопровождающей системы отсчета. Если
сопровождающая система отсчета движется вертикально с некоторым
ускорением а0, то последнее из уравнений (4.2) следует записывать в виде
m"0 = Ftz + F2z +....
Если движение материальной точки в горизонтальной плоскости происходит с
постоянным тангенциальным ускорением, то полное ускорение частицы <?=<?"
+ <Zj не будет направлено по радиусу окружности. При решении таких задач
обычно необходимо записать уравнения движения в проекциях на все оси
сопровождающей системы отсчета. Прн этом из уравнения в проекции на ось
~х, записанного в виде
т аТ = т + F2 т +..., или т е г = F, т + F2 т + ..., можно найти ат или
угловое ускорение е, которые связаны с нормальным ускорением соотношением
(4.3).
Вторая группа включает задачи на движение материальной точки в
вертикальной плоскости. В общем случае здесь частица движется с
переменным тангенциальным ускорением (т.е. ат * const). В задачах,
рассматриваемых в рамках школьного курса, энергию частицы прн таком
движении изменяют только консервативные силы. Обычно такой силой является
сила тяжести, а все другие силы, действующие на частицу при ее движении
(например, сила реакции опоры, если частица движется по сферической
поверхности, или сила натяжения инти - прн движении частицы, подвешенной
на инти), перпендикулярны траектории и, следовательно, работы не
совершают, т.е. не изменяют энергию частицы. При таком движении частица
переходит по дуге окружности с одного уровня потенциальной энергии на
другой н при этом ее полная энергия не изменяется. Для решения таких
задач обычно достаточно только уравнения движения в проекции на нормаль к
траектории и закона сохранения энергии.
Наконец, третью группу составляют задачи, в которых изучается движение не
