Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
само тело в сопровождающей системе отсчета покоится то второй
за-
кон Ньютона в ней (см. (2.18))
т (а '+ %) = +1^2
в точности совпадает с законом (4.1), записанным относительно
инерциальной системы отсчета.
Выберем в сопровождающей системе отсчета три взаимно перпендикулярные
оси: одну - вдоль единичного вектора ~п, лежащего в плоскости окружности,
по которой движется частица, и направленного к центру окружности О'(рис.
4.1), вторую - вдоль единичного вектора it также лежащего в плоскости
окружности и направленного по касательной к окружности в произвольно
выбранную сторону (при изменении направления движения частицы по
окружности, направление вектора •? не изменяется!), и ось 02,
перпендикулярную плоскости окружности. Спроецируем уравнение (4.1) на эти
три оси с учетом, что
U2 2
а" =-----= ю г
п г
(где о - угловая скорость частицы) - нормальное ускорение частицы,
d\i d&
ar = -г~ = г -г- = ге х dt dt
(где 8 - угловое ускорение частицы) - тангенциальное ускорение частицы и
az = 0, так как частица не перемещается в инерциальной системе отсчета
вдоль оси OZ:
.2
О Г
do
т аТ = т -г-т at
= т со г-
'^\п + ^2п + •
= т ? г = FlT + F2t + .
(4.2)
О - F, z + F2 z + .
Если по условию задачи частица движется по окружности равномерно (и =
const), то аТ - 0. При этом нормальное ускорение частицы часто бывает
удобно выразить через число оборотов в единицу времени п = со/2п или
период обращения Г = 2л/со = 1 /п:
ап = 4 п2 п2 г =
4 п
155
При движении частицы по окружности постоянного радиуса с постоянным
тангенциальным ускорением ах = const (или, что то же самое, постоянным
угловым ускорением е = const), скорость частицы изменяется со временем по
закону
где и0иш0- линейная и угловая скорости частицы в начальный момент времени
t -10.
школьного курса математики (решение дифференциальных уравнений). В рамках
школьного курса подобная задача решается только в том случае, если на
частицу в процессе движения не действуют неконсервативные силы (например,
силы трения или сопротивления среды) и полная механическая энергия
частицы
(где U (FK юнс) - потенциальные энергии консервативных сил FK юис,
действующих на частицу) не изменяется со временем. Из закона сохранения
энергии (4.4) можно найти скорость частицы и в любой момент времени, если
заданы ее положение rj и скорость v?0 в начальный момент времени t -10.
Так, например, при движении идеального (т.е. без учета сил трения в месте
подвеса и сил сопротивления воздуха) математического маятника
единственной неконсервативной силой, способной изменить полную
механическую энергию частицы, является сила натяжения нити Т, но при
движении маятника она работу не совершает, так как в любой момент времени
перпендикулярна траектории движения, и полная механическая энергия
частицы остается величиной постоянной. Если нулевой уровень потенциальной
энергии силы тяжести выбрать в точке подвеса О (рис. 4.2), то
v = v0 + axit-t0).
В этом случае нормальное ускорение частицы
"л О) =
или
г
п
Рис. 4.2
mg
В общем случае, когда частица движется по окружности с переменным
тангенциальным ускорением ах (например, при движении математического
маятника aT = -gsina (рис. 4.2), где угол отклонения маятника а
изменяется со временем по неизвестному заранее закону), нахождение
величины скорости частицы и в зависимости от времени t, а, следовательно,
и нормального ускорения требует применения математических методов,
выходящих за рамки
(4.4)
156
Е = -mg z = - m g I cos a = -mg I cos a0 = const, (4.5)
где u" и a0 - скорость и угол отклонения нити маятника в начальный момент
времени.
Из (4.5) можно получить выражение для скорости частицы массой т при
произвольном угле а отклонения нити маятника:
u = Vu^-2g/(cosa0-cosa). (4.6)
Рассмотрим в заключение вопрос о движении по окружности взаимодействующих
частиц, образующих замкнутую систему. В инерциальной системе отсчета,
связанной с центром инерции (в системе центра масс), система частиц
покоится как целое, но сами частицы могут при определенных условиях
двигаться по окружностям, центры которых расположены на оси, проходящей
через центр инерции системы.
Если система состоит из двух взаимодействующих частиц массами тх и т2,
то, как известно (см. (3.20)), их радиус-векторы и ~г2 в системе центра
масс связаны соотношением 1?2 = - (тх/т2) ~Г\. Это означает, что частицы
в любой момент времени должны находиться на противоположных концах
вектора г*= г*2 - 7^, проходящего через центр инерции системы (рис. 4.3).
Если между частицами действуют гравитационные или электрические
т и
т On
силы притяжения
Ъ-г = -
г 2_1, то эти силы будут создавать ускорения
частиц тх и т2, направленные к центру инерции системы,
ап 1 = F2-
j/Wj - (0j I
Яп2 ~ ^\-2^т2 ~ (r)2 '
(4.7)
т.е. при определенных условиях частицы могут вращаться по окружностям
радиусами г, и г2 = (тх/т2) гх, лежащими в одной плоскости и с центрами в
центре инерции системы. Учитывая, что Fx_2 = F2_x и тх гх = т2 г2, из
