Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
с учетом (1) получим Следовательно,
"1 ui
Г + -2^ + -= ^ +
----j--------+ - -FAX.
(4)
2 ш,
F Ах
2 т.
F Ах-
к Дх2 ]
Ш|(от|+т2)' 2 >' * т2(т1+т2)'
Из закона сохранения импульса (3) видно, что скорости и, и о2 принимают
максимальные значения одновременно. Так как в любой момент времени
скорости брусков направлены в противоположные стороны, то их
относительная скорость
иотн-и1-и2' и(tm) иотн = и1'ги2 будет максимальна в тот момент, когда
максимальна скорость и, (нлн о2).
Исследуем функцию о, (Ах) на экстремум. Поскольку величина скорости и,
всегда положительна, то функции о, (Дх) и о, (Дх) принимают максимальные
и минимальные значения при одних и тех же Дх. Следовательно,
, = и, +о,
(о2)':
2 ш2 т | (т | + т2)
(F-kAx) = 0.
145
Отсюда находим
л F 1 Ддг = -г = 1 см. к
Очевидно, что найденное значение Ах соответствует максимальной
относительной скорости брусков, поскольку при минимальной величине оотн =
0 (например, в начальный момент) Дг=0.
Рассмотрим вторую часть задачи.
В момент времени, когда пружина максимально растянута, относительная
скорость брусков равна нулю (т.е. о, = о2 = о), и уравнения (3) - (4)
примут вид
ш,и2(ш,+ш2) *Лх4ах г
О = (- /я, + лг-) о, ----2^-------+----т---= F&xmax-
Следовательно,
о = 0;
Лу =--------------
2 F
ах = /0 + Дхтах = /0 + -=12 см.
; 2F п
=/" + -?-= 12 см.
2F
к
• Ответ: Ах = - = 1 см; /тах
3.81. На гладком горизонтальном столе лежат два бруска массами тх = 2 кг
и т2 = 4 кг, соединенные легкой недеформированной пружиной жесткостью к =
400 Н/м и длиной /0 = 10 см. К бруску массой т2 прикладывают постоянную
силу F= 12 Н, направленную вдоль пружины и растягивающую ее. Найти
максимальное расстояния между брусками при их движении.
• Решение. В отлнчне от№3.80, в рассматриваемой задаче сила Р приложена
лишь к одному бруску, и сумма внешних ¦ ^ сил, действующих иа систему в
горизонтальном направлении, не равна нулю. Поэтому т2]> проекция импульса
системы на ось ОХ при движении брусков будет меняться.
¦/о
g
/Ч
х\ х2
Рнс. 3.5S
Рассмотрим произвольное положение системы (рис. 3.55).
Если в начальный момент длина пружины в недеформированном состоянии равна
/0, то к моменту времени, когда тело массой ш, пройдет расстояние S',
(будет иметь координату X, = S',), а тело массой тг - расстояние S2
(будет иметь координату х2 = 10 + S2), удлинение
пружины станет равным
Ax = S~-S,
1'
или
Ах = х2 - хх -10.
(1)
Так как работа сил реакции стола /7,, Й2 равна нулю, то алгебраическая
сумма работ сторонних сил
А (^сгор) = ^ (f) = FS2.
Следовательно, изменение механической энергии системы
AE=FS.
или
т, О! ш, о:
2>
= FS7,
(2)
2 ' 2 ' 2 " -где о,, о2 - скорости брусков в рассматриваемый момент
времени.
В положении, когда пружина максимально растянута, относительная скорость
брусков равна нулю (о, = о2 = о), н уравнение (2) примет вид
146
(ш, + znj) о2 клх2тах
---~2-------------+ -2- = АЛ2- (3)
Уравнение (3) содержит три неизвестных величины: скорость брусков и,
максимальное удлинение Armax пружины н путь S2, пройденный бруском массой
т2.
Из уравнений движения брусков, записанных в проекции на ось ОХ
т\ а\ = ^пр> т2а2 - F - Fynp, (4)
следует, что бруски будут двигаться с разными по величине ускорениями.
Причем, так как величина силы упругости Fynp будет меняться, то ускорения
брусков будут также меняться.
Поскольку в горизонтальном направлении на систему действует внешняя
постоянная сила, то движение центра масс системы будет происходить с
постоянным ускорением Из уравнения движения центра масс
(m, +mJac = F
получим
а ---------
mj + т2
Следовательно, скорость центра масс и его координата будут меняться по
законам равнопеременного движения: *>
Ft acf Ft2
°c = ac' = ^7+V *c = *c0 + '~2_ = *c0 + 2(m1 + m2)' (5)
где *c0 - начальная координата центра масс:
/.
(6)
С о
т, + т-у
В рассматриваемый момент времени координата центра масс
Wj + т2х2
2(т1 + т2) 2 ml + m2 2(mj+m2) т1+т2 тх+т2
илн
2 от, + т2
Следовательно, наибольшее растяжение пружины
А*"" к{тх + т$' а максимальное расстояния между брусками при их движении
2 Fm
/тах = /о + д*тах = /о + --~ = 12 см-
к(т | + OTj) 2 F Ш|
• Ответ: /тах = /0 + Ддгтах = /0 + = 12 см.
/с \ТП\ + т2)
(7)
/и, + т2 Из (7) с учетом (1) получим
. ш1 (Д* + /о)
*2=*с +------------•
ш, + т2
В момент времени т, когда растяжение пружины максимально,
Ft m2lo Ft1 т\ (A*max + /o)
ос =---------; *с =--------- + ----------; х2 = хс +---------------.
(9)
тх + т2 Ш|+Ш2 2(ш1+ш2) От| + т2
Подставляя соотношения (9) в (3)
(m,+m2)F2t2| *Лд4ах_ t J тг10 ^ р т2 w2 (^max + ^ 1
2 (от, + Wj)2 2 ах ш, + ш2 2 (ш, + т2) т,+т2
(где учтено, что путь S2 = x2- /0), получим
F2 т2 к^тах Fm2lo F2 т2 Fml "Чпах
+----д---=----------+ -----------г +-----------+-----------F/0,
3.82. На гладком горизонтальном столе лежат два бруска, соединенные
легкой недеформированной пружиной жесткостью к. К брускам одновременно
прикладывают одинаковые по величине силы F, направленные вдоль пружины в
