Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
"строительный материал" будем перемешать с, помощью каких-либо
приспособлений, чтобы исключить трение. При этом затраченная работа будет
равна нулю, так как направление перемещения перпендикулярно действию снл
тяжести н реакции.
Для определения работы, необходимой для поднятия "кирпичиков" на
соответствующие уровни, разобьем куб на бесконечно тонкие горизонтальные
слон толщиной dz (рис. 3.24) н массой dm. Работа по поднятию такого слоя
на высоту z относительно уровня земли равна
dA = dm g z,
где dm = pdV=pdL dz.
Работа, затрачиваемая на построение всего куба, равна сумме элементарных
работ dA н может быть выражена через определенный нитеграл
? 1 A=jgpcrzdz.
о
Так как подынтегральная функция линейна по z, то значение интеграла можно
вычислить разными способами (например, графически нлн через среднее
значение), которые рассмотрим в следующих примерах. Здесь же интеграл
возьмем непосредственно:
122
A=g pa2
2>0=Т- = 9'8КДЖ-
Полученный результат можно представить и по-другому.
л _ тга г '
т.е. минимальная работа, необходимая для построения куба, численно равна
работе по поднятию материальной точки массой, равной массе всего куба, до
уровня его центра масс.
• Ответ: А = >/2 р ga4 = 9,8 кДж.
3.25. Цепь массой т = 5 кг и длиной 1=2 м, лежащую на горизонтальной
плоскости, поднимают за один из ее концов. Чему равна минимальная работа
по подъему цепи на высоту, равную ее длине?
3.26. Десять кирпичей массой т = 2 кг и толщиной h = 10 см каждый лежат
широкой своей частью на горизонтальном столе. Какую минимальную работу
нужно совершить, чтобы положить их друг на друга?
3.27. Найти работу, которую необходимо совершить, чтобы с минимальным
усилием переместить брусок массой т вдоль наклонной плоскости из точки 1
в точку 2 (рис. 3.25), расстояние между которыми по горизонтали /, а по
вертикали h. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен |д.
• Решение. Чтобы переместить брусок нз точки 1 в точку 2, приложим к
нему силу Р, направленную под углом (3 к наклонной плоскости.
Прн движении на брусок будут действовать четыре силы: сила тяжести mg,
сила реакции опоры Й, сила трения Рт и сила
pVOJUL^nn инирш 9 wDia 1|ЛПГ1Л 'тр n
Р. Запишем уравнение движения бруска
Рнс. 3.25
та =
Р+т^+Й+Р^
(1)
(2)
(3)
в проекциях на осн системы координат:
OX: ma = Fcos$-mgs'ma-FTp,
OY: 0 = N + F sin р - т g cos a,
где сила трения F^ = ц N.
Из (1) - (2) получим
т а = Fcos (3 - т gsin a - ц (т geos a - Fsin р).
Следовательно, величина силы
^ т (а + g sin a + ц g cos a) cos p + ц sin p
зависит от ускорения бруска н угла р. Очевидно, что F будет тем меньше,
чем меньше ускорение бруска Поэтому для нахождения работы,
соответствующей перемещению бруска с минимальным усилием, к бруску надо
приложить такую по величине силу, чтобы движение было равномерным (а =
0). Для определения значения угла р, при котором величина силы Р
минимальна, исследуем (3) на экстремум.
Поскольку от угаа р зависит лишь знаменатель
/(P) = cos р + ц sin р,
то вместо того, чтобы исследовать на минимум функцию /Г(Р), исследуем на
максимум функцию/(Р):
123
= - sin p + ц cos P = 0;
Следовательно,
-^т = - cos p - ц sin p < 0.
rfp
+ Ц
. P m g (sin а + ц cos а) V 1 + tg2 P mg (sin а +
ц cos а)
"Р-ft min ~ 1+Htgp " r"---T
Работа постоянной силы P на пути Д5,_2
А = Fs Д5,_2 = F cos р Д^|_2
прн F=Fmm равна
^ _ т Я (sin а + ц cos а) png R ^ _ т % ДО1-2 sin а +
ц А5,_2 cos а) ^ т g(h + \il)
------ • cos р Д5|_2 =
V 1 +ц2
где учтено, что Д5,_2 sin а = А; Д5,_2 cos а = /.
1 +vr
1+^
¦ Ответ: А
1+ц2
3.28. Груз массой т = 7 кг поднимают на легкой веревке с поверхности
земли на высоту h = 1 м: один раз равномерно, второй - равноускоренно с
ускорением а = 2 м/с2. На сколько большую работу по подъему груза
совершили во втором случае, чем в первом? Сопротивление воздуха не
учитывать.
3.29. Какую работу совершит сила F, подняв по наклонной плоскости груз
массой т = 2 кг на высоту h = 2,5 м с ускорением а = 10 м/с2? Угол
наклона плоскости к горизонту а = 30°. Сила действует параллельно
наклонной плоскости. Трением о плоскость пренебречь.
3.30. Найти минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы
втащить тело массой т = 50 кг на горку произвольного профиля по плоской
траектории из точки 1 в точку 2, расстояние между которыми по горизонтали
/= 10 м, а по вертикали h= 10 м. Коэффициент трения между телом и горкой
всюду одинаков и равен ц = 0,1. Профиль горки такой, что касательная к
нему в любой точке составляет острый угол с горизонтом. Сила, приложенная
к телу, всюду действует по касательной к траектории его перемещения.
3.31. Брусок массой т и длиной / лежит на стыке двух горизонтальных
столов (рис. 3.26, а). Какую минимальную работу надо совершить, чтобы
перетащить тело волоком с первого стола на второй, если коэффициенты
трения между телом и столами соответственно равны ц, и ц2-
Я
тр!
1 Г7
I!
а)
тят
% б)
Я
ЩВ
Рнс. 3.26
• Решение. Рассмотрим промежуточное положение бруска, соответствующее
