Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Сталкивающиеся тела на больших расстояниях друг от друга являются
свободными. Проходя мимо друг друга, они взаимодействуют между собой, в
результате чего могут происходить различные процессы -тела могут
соединяться в одно, могут возникать новые тела, наконец, может иметь
место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения
вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния.
Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел,
называются неупругими.
Происходящие в обычных условиях столкновения обычных тел почти всегда
бывают в той или иной степени неупругими - уже хотя бы потому, что они
сопровождаются некоторым нагреванием тел, т.е. переходом части их
кинетической энергии в тепло. Тем не менее в физике понятие об упругих
столкновениях играет важную роль, так как с такими столкновениями часто
приходится иметь дело в экспериментах в области атомных явлений. Но и
обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать
упругими.
Рассмотрим упругое столкновение двух частиц с массами тх и т2, движущихся
вдоль одной прямой (так называемое "лобовое столкновение" или центральный
удар). В результате такого столкновения обе частицы будут двигаться вдоль
той же прямой. Обозначим скорости и импульсы частиц до и после
столкновения соответственно через ij,, и2, ~РХ = тх v?" р2 = т2и2 и и2,
р[ = тх и{, ]?{ = т2 v?2'.
Поскольку до и после столкновения частицы предполагаются
невзаимодействующими, т.е. свободными, а при упругом столкновении между
частицами не действуют диссипативные силы, то полная механическая энергия
системы частиц сохраняется и закон сохранения энергии сводится к
сохранению кинетической энергии (см. выражение (3.33)):
106
r? J г.'2 г,'2
- + - = - + - , (3.70)
т{ т2 т1 т2
где опущен общий множитель {l/z}.
Закон сохранения импульса выражается векторным равенством
Й+?2=Й' + Й- (371)
Перепишем уравнения (3.70) и (3.71) в виде
Щ (Pi ~t\) (Р\ +Pi') = т\ (Рг -~Рг) (Й +Й)' (3-72)
^-Р{=Р2~Р2- . (3-73)
С учетом (3.73) соотношение (3.72) можно записать по-другому:
т2 (р{ +pf) = m, (р2 +р2'). (3.74)
Из (3.73) - (3.74) легко получить
(m, - т2)'рх + 2mip2 Р\=~
Р2:
mi + т2 (т2 - т^)~р2 +2 т2~рх
(3.75)
ИЛИ т\ + т2
(т] - т2) и, + 2 т2 \?2 /и, + т2 (т2 - /и,) и'г + 2 /и,
и =-
(3.76)
и, = -
?И| + /И2
Формулы (3.75) - (3.76) справедливы при движении взаимодействующих частиц
как навстречу, так и вдогонку друг другу.
Рассмотрим частный случай упругого лобового столкновения двух т\ ^
частиц при условии, что частица ф--* (c)
массой т^ до столкновения покои- О____________________________________X
лась, т.е. р2 = т2 Т?2 = 0. Запишем выражения (3.75) - (3.76) в проекции
ис
на ось ОХ, совпадающую с направлением импульса налетающей частицы (рис.
3.14):
т1 - т2 т{ + т2 2 т2
(3.77)
Р2х = ~^~Г^Рх
ТП* *г Т(1-\
X'
1 гп2
° х"------------Ulx>
Wj+/W2
(3.78)
2 mi
u2x =------------и1лг>
ml + m2
где мы учли, что РХх=Рй р[х=рх, Р2х=Р2, иХх = ий ui'* = ul и "2х = °2-
107
Из (3.78) следует, что налетающая частица (массой от,) будет продолжать
двигаться в том же направлении или же изменит свое направление движения
на обратное в зависимости от того, больше или меньше ее масса тх массы
первоначально покоившейся частицы от2, Если массы частиц одинаковы (от, =
от2), то р\х = 0 (и(х = 0) и р2х =рх х (и2х = о, х), т.е. частицы при
столкновении как бы обмениваются своими скоростями.
Если от, "от2, то из (3.77)-(3.78) следует
п' ~-п f
Р\х~ Pixy J m
P2,"2Pi" 1 -
т.е. покоившаяся частица практически остается на месте, а налетевшая
отскакивает назад с первоначальной скоростью.
Если, наоборот, от, > > т2, то
Г Р\х"Р\х> f U' ~и
J от2 J
[ Ргхя2- Pix> l"2x*2ulx,
т. е. налетающая массивная частица после столкновения продолжает
двигаться со скоростью, близкой к первоначальной, а покоившаяся легкая
отлетает от нее с удвоенной первоначальной скоростью налетающей частицы.
Рассмотрим теперь упругое нецентральное столкновение двух частиц
одинаковой массы при условии, что одна из частиц до столкновения
покоилась.
Из законов сохранения энергии и импульса
г,2 "'2 г,-2
- = - + - , (3.79)
гп\ тх т2
ftl=Pl+I?2 С3-80)
(где от, в частности, следует, что импульсы рх, р{ и ~р{ (а,
следо-
вательно, и,, о,' и о2) лежат в одной плоскости.
Возводя (3.80) в квадрат
р\^р[г^2р{^р{\
(где р{-р{ - скалярное произведение векторов р{ и р2), с учетом (3.79)
получим
0=РгР2'>
или
0 = р[ -р2 cos a, cos а = 0,
где а - угол между векторами ~р{ и ~р2. Следовательно, при упругом
столкновении частиц с одинаковыми массами они разлетаются под прямым
углом (а = я) и треугольник, образованный векторами ~рх, ~р{ и ~р2 (рис.
3.15), является прямоугольным с гипо-Рис. 3.15 тенузой pi.
108
В случае нелобового столкновения частиц, массы которых не одинаковы,
законов сохранения (3.79)-(3.80) недостаточно для определения импульсов
]?,' и р{ частиц после взаимодействия. Если в плоскости, в которой лежат
