Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Закон сохранения механической энергии системы
Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме их
кинетических энергий: 2
л л /и, и,
^ = = (3.55)
/ = 1 / = 1
где и, - абсолютная скорость z'-й частицы в какой-либо выбранной
инерциальной системе отсчета. По правилу сложения скоростей
и, = V?/ + v?c, (3.56)
где ис - скорость центра инерции системы; и)'- скорость /-й частицы
относительно центра инерции. Подставив (3.56) в (3.55), можно показать,
чт0 ,,2 ,2
Mui л /и, и,
7'chc = V+,?1"^ (3'57)
103
Рис. 3.12
(где М= ??= 1 т,- - масса системы), т.е. кинетическая энергия системы
равна сумме кинетической энергии движения системы как целого и
кинетических энергий "внутренних" движений частиц относительно центра
инерции. Ясно, что в инерциальной системе отсчета, связанной с центром
инерции (системе центра масс), кинетическая энергия системы
(3.58)
Если частицы, входящие в систему, взаимодействуют друг с другом, причем
силы взаимодействия являются консервативными, то для такой системы можно
ввести потенциальную энергию взаимодействия UB3. Эта энергия определяется
следующим образом: выбираются две произвольные частицы системы, скажем mi
и /я,-, взаимодействующие между собой с силами Ft_j = - Fj4 (третий закон
Ньютона). Одна из частиц (например, т,) считается неподвижной, а другую
перемещают из исходного положения на выбранный заранее произвольный
нулевой уровень (точка О на рис. 3.12). Работа консервативной силы при
таком перемещении и будет потенциальной энергией взаимодействия частицы
mt с частицей тр которую обозначим Если считать неподвижной частицу mj, а
перемещать в точку О частицу mt, то работа силы Fj_j, т.е. Uj_j, окажется
равной
UH=Uj_, (3.59)
Потенциальная энергия взаимодействия системы ?/вз равна сумме
потенциальных энергий Uj_j для всех различных возможных пар частиц
системы:
^ВЗ = ^1-2 + ^1-3 + • • • + ^2-3 + ^2-4 + • ¦ • + ^3-4 + ^3-5 + • ¦ • .
(3.60)
ИЛИ
= I* 11 ин, (3.61)
i*j
где множитель {>/5} появляется из-за того, что при суммировании в правой
части любое слагаемое, например U2_3, имеет пару U3_2, но на основании
(3.59) и2_ъ - иг_2.
Если система материальных точек является замкнутой, то полная
механическая энергия системы ?сис равна сумме ее кинетической энергии
Тспс (3.55) и потенциальной энергии взаимодействия ^вз: '
и т. и,
Ясис-Е-у^+Цв. (3-62)
I S | w
или на основании (3.57) 2
Мис
^сис= 2 ^внутр> (3 -63)
где
104
и /Я/О;2
Emyrp = i 2 *" ^вз (3.64)
- так называемая внутренняя энергия системы частиц, т.е. ее полная
механическая энергия в системе центра масс.
Оказывается, что полная механическая энергия замкнутой системы ЕСИС может
изменяться только в том случае, если между телами системы помимо
консервативных сил взаимодействия действуют еще и неконсервативные силы
(например, силы трения и сопротивления). В этом случае изменение полной
энергии системы АЕ = Е2 сис - Ех сис равно работе всех внутренних
неконсервативных (сторонних) сил, т.е.
= Е2 сис - Ех сис = 2 A (FK crop). (3.65)
К = 1
Если внутри замкнутой системы действуют только консервативные силы, то ее
полная механическая энергия не изменяется со временем. Это и есть закон
сохранения полной механической энергии для замкнутой системы.
В заключение приведем для справки выражения для потенциальных энергий
взаимодействия двух частиц, между которыми действуют консервативные: а)
гравитационные, б) электрические и в) упругие силы.
а) Две частицы т, и т2, расположенные на расстоянии г друг от друга,
взаимодействуют между собой по закону всемирного тяготения (см. формулу
(2.6))
т\ т2 Л-2 = - Y -3-
г
Можно показать, что потенциальная энергия взаимодействия этих частиц
т, т,
Ц-2 = -у-Лу2-- (3-66)
Нулевой уровень Ux_2 при такой записи выбран на бесконечности (t/,_2 -> 0
при г -> со).
Если система состоит, например, из трех частиц тх, т2 и тъ, то
потенциальная энергия взаимодействия такой системы, согласно (3.61)
1т\ т2 тхтъ т2тз]
Ц-2 = -У -------+ -------+ ------ , (3-67)
1-2 ^1-3 2-3
где гх_2, гх_з и г2_з - расстояния между частицами тх и т2, тх и тъ, т2 и
т3 соответственно (рис. 3.13).
б) Две заряженные частицы qx и q2, расположенные на расстоянии г друг
от друга, взаимодействуют по закону Кулона (см. формулу (2.9))
_ Ч\ Чг
12 4 716 60^
г.
105
Их потенциальная энергия взаимодействия
2 = ?1 Ь . (3.68)
4 7гее0г
Нулевой уровень Ux_2 тоже выбран на бесконечности.
в) Две частицы соединены друг с другом невесомой пружиной жесткостью
к. Потенциальная энергия взаимодействия двух таких частиц
= (3.69)
где х - удлинение (укорочение) пружины относительно ее недеформиро-
ванного состояния. Здесь нулевой уровень Ux,2 выбран при х = 0.
Упругие и неупругие столкновения
Законы сохранения энергии и импульса используются для установления
соотношений между различными величинами при столкновениях тел.
В физике под столкновением понимают процесс взаимодействия между телами в
широком смысле слова, а не буквально как соприкосновение тел.
