Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
направленной т
вертикально вниз (рис. 3.10). В системе
отсчета, показанной на рис. 3.10, точка Р, в которой мы хотим определить
по- Рис 310
тенциальную энергию, имеет координату z. Выберем нулевой уровень
потенциальной энергии (точка О) на высоте, вертикальная координата
которой равна z0. Для нахождения U (Р) перенесем частицу из точки Р в
точку О по пути Р-А-0 (точка А находится под точкой О на той же высоте,
что и точка Р). Выбор пути из Р в О произволен, так как работа, которую
мы ищем, не зависит от формы пути. По определению потенциальной энергии
(3.36)
U(P) = AP_A(mg) + AA_0(mg). (3-41)
Но Ар_л (mg) = 0, так как на пути P-А сила тяжести т g перпендикулярна
перемещению, а
AA-0(mg) = -mg(z0-z), (3.42)
где (Zq - z) - перемещение частицы. В (3.42) знак минус в правой части
вызван тем, что угол а между направлением силы т?и перемещением частицы
равен 180°, a cos 180° =-1. Следовательно,
?/(/") =mg( z-z0). (3.43)
Из (3.43) видно, что U> 0, если частица находится выше
нулевого
уровня (z > Zq), и U < 0, если частица расположена ниже нулевого
уровня.
Если нулевой уровень О выбрать на высоте начала отсчета координаты z (не
обязательно лежащего на поверхности Земли), то Zq = 0 и выражение для
потенциальной энергии (3.43) принимает наиболее простой вид
101
-/о-
и (z) = mgz, (3.44)
где z - вертикальная координата частицы, отсчитываемая вверх (z > 0) или
вниз (z < 0) от нулевого уровня.
К консервативным силам относится также сила упругости, возникающая при не
очень сильных деформациях (сжатии или растяжении) твердого тела или
пружины, когда выполняется закон Гука ?упр (2.10)-(2.11).
' Найдем потенциальную энергию рас-
^ тянутой (или сжатой) пружины жесткос-
и тью к. Пусть пружина, длина которой в
недеформированном состоянии равна /0, жестко закреплена за один из концов
и растянута (или сжата) на величину х (рис. 3.11). В пружине возникает
сила упругости
Fynp = kx, (3.45)
стремящаяся вернуть пружину в недеформированное состояние.
Для нахождения потенциальной энергии пружины выберем в качестве нулевого
уровня состояние нерастянутой пружины (х = 0). Определим работу силы
упругости при возвращении пружины из исходного состояния в
недеформированное, которая и будет потенциальной энергией растянутой
(сжатой) пружины. Так как сила упругости и перемещение пружины совпадают
по направлению, то эта работа положительна, а ее величина (сила упругости
зависит от перемещения х по линейному закону) согласно (3.29) и (3.30)
равна
А = < Fynp > (* - 0) = < Fynp > х, (3.46)
где
Г- ^упр (0) + -^упр М к X Л
< упр > " ----2 ---= Т- (147)
Подставляя (3.47) в (3.46) и учитывая, что U=A, получим окончательно
выражение для потенциальной энергии растянутой (или сжатой) пружины
жесткостью к:
U(Fynp) = ±f. (3.48)
Полная механическая энергия материальной точки.
Теорема о полной механической энергии частицы.
Закон сохранения энергии для частицы
Пусть материальная точкамассой т движется под действием нескольких
консервативных сил F, конс, F2 , . . . и каких-либо других
неконсервативных сил (будем называть их сторонними), равнодействующую
которых обозначим /^р.
Согласно теореме о кинетической энергии (3.34), приращение кинетической
энергии частицы при ее перемещении из точки 1 в точку 2
~ ^1 = ^1-2 (^1 коне) + ^1-2 (^2 коне) + • ¦ • + Л1-2 (^стор)- (3-
49)
102
Учитывая, что (см. выражение (3.40))
^1-2 (FK коне) = (^К коне) ~ ^2 С^ккоис) (3.50)
(где ?/(FKкоиС) - потенциальная энергия к-й консервативной силы FKKmc),
соотношение (3.49) можно переписать в виде \Т2 + U2 (F,
коис ) + U2 (F2
коне) "*"•••]
(3.51)
- [Г, + ?/| (Fj ионе) + U\ (F2 коне) + ¦ • ¦] = ^i-2 (^стор)-
Величина, стоящая в квадратных скобках в (3.51), называется полной
механической энергией Е материальной точки и складывается из кинетической
энергии частицы и потенциальных энергий в поле всех консервативных сил,
действующих на частицу, т.е. 2
Е= 74 U(FX юнс) + ?/(/w) + ... = ^ + ZU(FKtaK). (3.52)
^ Ai = 1
Тогда (3.51) можно записать в виде
E^E^AE^A^F^), (3.53)
т.е. приращение полной механической энергии ДЕ частицы равно работе всех
сторонних сил. Это и есть теорема о полной механической энергии
материальной точки. Из этой теоремы вытекает закон сохранения полной
механической энергии частицы, если на частицу действуют только
консервативные силы, то Ах_2 (F^op) = 0 и АЕ = Е2 - ?, = 0, т.е. полная
механическая энергия частицы (3.51) остается постоянной.
Полная механическая энергия частицы может уменьшаться под действием таких
сил, например, как сила трения или сила сопротивления, работа которых
отрицательна. Силытрения и сопротивления поэтому называются
диссипативными силами гтй, так как их действие приводит к превращению
части механической энергии частицы в тепловую энергию. При этом
количество выделившегося тепла Q численно равно взятой со знаком плюс
работе диссипативных сил, т.е.
е = М1-2(/Гдис)1- (3-54)
Энергия системы материальных точек.
