Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
частиц, массы которых равны /и,, т2,..., тп. Если частицы, входящие в
систему, взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с
окружающими телами, не входящими в систему, то такая система называется
замкнутой.
Импульсом системы называется векторная сумма импульсов 'pi = /и, Т?, (mi
- масса /'-й частицы; - ее скорость в инерциальной системе отсчета) всех
частиц, входящих в систему:
?=ЕЛ = 1>,о,. (3.6)
TYI! ^ /= 1 /~ 1
С течением времени скорости и импульсы частиц изменяются и каждая из
частиц движется по некоторой своей траектории г* = 7* (?) (рис. 3.1).
Центром инерции (или центром масс) системы материальных точек называется
точка в пространстве, радиус-вектор ~гй которой
Рис. 3.1
где
масса системы.
Скорость центра инерции равна
-> d?c 1
гс = л7,.?Лг"->
M=Y.mi / = 1
п dr¦ 1 п \ и 1
w Ё rnt -J- = Т7 Ё /И, и, = - Ё Pi = TjP-
М ( = i 1 at М, = 1 ' ' М , = 1 ' М
(3.7)
(3.8)
(3.9)
с dt М ,"Г ' dt Переписав выражение (3.9) в виде
(3.10)
мы видим, что импульс системы, скорость движения центра инерции и сумма
масс входящих в систему частиц связаны таким же соотношением, как
импульс, скорость и масса отдельной частицы. Мы можем поэтому
рассматривать импульс системы Р как импульс одной материальной точки,
находящейся в центре инерции системы и имеющей массу М, равную сумме масс
всех частиц в системе. Скорость центра инерции Т?с при этом можно
рассматривать как скорость движения системы частиц как целого.
Запишем второй закон Ньютона в форме (3.3) для какой-либо /-й частицы
системы:
¦^ = 3-/ + 3-/ + --- + 3+3 + ---. (ЗЛ1)
94
где - сила, с которой j-я частица действует на ю; ^ ^ ,... - внешние
силы, действующие на ю частицу со стороны тел, не входящих в систему.
Суммируя выражение (3.11) по всем частицам системы и учитывая, что Е"=
ipl=r, а сумма всех внутренних сил Fj_t взаимодействия между частицами
системы на основании третьего закона Ньютона
равна нулю, получим -g N
O''Л?" <312)
где Ек= 1 FK - сумма всех внешних сил, действующих на частицы системы.
Соотношение (3.12) называют вторым законом Ньютона для системы
взаимодействующих материальных точек: скорость изменения полного импульса
системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.
Используя (3.10), уравнение (3.12) можно переписать в виде
M% = i^K, (3.13)
где К-1
v аог 1 п
а* = ~с[Г = ~М (ЗЛ4)
- ускорение центра инерции системы частиц.
Второй закон Ньютона для системы частиц (3.13) по форме совпадет со
вторым законом Ньютона для материальной точки m~a = T.K=iFK, только
вместо массы частицы т в (3.13) стоит масса системы М, вместо ускорения
точки ~а- ускорение центра инерции ~ас, а в правой части - не все, а
только внешние по отношению к системе силы.
Полезно помнить, что в случае, когда тела, входящие в систему, в любой
момент времени имеют одинаковые скорости u^r) = v? (г) и, следовательно,
движутся с одинаковыми ускорениями ^ (?) = ~а (?) (например, несколько
тел, соединенных какими-либо связями), то на основании (3.9) и (3.14) v?c
= v?, = ^ и второй закон Ньютона (3.13) для такой системы
примет вид N
М^=?^к, (3.15)
к= 1
где М=Ъ"= 1 /я, - сумма масс тел, входящих в систему; ~ct- ускорение
системы (одинаковое для всех тел); ?/= i FK - сумма внешних сил,
действующих на систему.
Уравнение (3.12) можно переписать в виде, аналогичном (3.4) - (3.5):
dP'=Z?Kdt, (3.16)
-> к= 1 где dP - элементарное изменение импульса системы за бесконечно
малый промежуток времени dt и FK dt - импульс внешней силы FK за время
dt\
Д?=?2-?, =2<^К>Д t, (3.17)
где А?- конечное изменение импульса системы за время At = t2-tx; <FK>-
среднее за время At значение внешней силы FK.
95
Из этих соотношений видно, что импульс системы может измениться только
под действием внешних сил (внутренние силы не в состоянии изменить
импульс системы), а величина изменения определяется не самими внешними
силами FK, а их импульсами.
В замкнутой системе материальных точек сумма внешних сил равна нулю, а
значит, изменение импульса системы Д?=0 (см. выражение (3.17)).
Следовательно, импульс замкнутой системы в инерциальной системе отсчета
?= ? ~Pi = Е = const, (3.18)
/ = i / = i
т.е. не изменяется со временем. Это утверждение носит название закона
сохранения импульса. Закон сохранения импульса является одним из
фундаментальных законов природы.
Из соотношения (3.9) следует, что центр инерции замкнутой системы
взаимодействующих материальных точек движется равномерно и прямолинейно
(ис = const). Поэтому если с центром инерции замкнутой системы связать
систему отсчета (ее называют системой центра масс), то она будет
инерциальной. В этой системе отсчета = 0, v?c = 0 и на основании (3.7) и
(3.9)
Г Ё т'Г*= О,
1 (3.19)
[ = О,
-* -> , = 1 где г,, и, - радиус-вектор и скорость /-и частицы
относительно системы центра масс.
Для замкнутой системы, состоящей из двух взаимодействующих частиц массами
тх и т2, соотношения (3.19) примут вид
/и,
или г,=~-
