Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
т"
I g
// //л////// /
^тр/+ I I
Tm/+I
упр 2
-ЛАМ
VT
?>>грУ
щ
777
f г ?
* упр I гупр I
4mf
тр 2
g
Т777
т.
тр 1
щ g
ТТ777
Т/Я]
g
Рис. 2.10
• Решение. Если механическая система состоит из большого числа тел
(или, как в данной задаче, из произвольного их числа), движущихся с
одинаковыми по величине и направлению ускорениями, то при решении задачи
можно не писать уравнение движения каждого тела в отдельности. Понятно,
что при сложении левых н правых частей уравнений движения каждого из тел
">/ а = ? fj
(где т, - масса (-го тела; Е Pj - сумма сил, действующих на ;-е тело)
силы, обусловленные взаимодействием тел друг с другом (силы натяжения
нитей или силы упругости пружин), сократятся, поскольку по третьему
закону Ньютона они равны по величине и направлены в противоположные
стороны.
Запишем уравнение движения системы тел
И + 1 . п + I И + 1, И + I V
? m, а = ?+ ? g + ? iVy + Z.PWj
(1)
(2)
j= I J=i
в проекциях на оси системы координат:
П + I П + 1
OX: Y1mJa = F- ? ^ .,
j-1 У=>
п + I п + I
OY: 0 = -2>,g + ?№.
j= i j=l
Поскольку все грузы имеют равные массы и коэффициенты трения о
поверхность у них одинаковы, то уравнения (1)-(2) можно записать в виде
(п + 1) m а = F-|х? Nj, 0 = - (п+1) m g + ^Nj.
Отсюда получим 7=1 1 "1
(п + 1) m a = F- (х (п + 1) m g; F= (и + 1) m (a + jx g).
Чтобы определить удлинение i-Й пружины, найдем величину силы упругости
Fynp Для этого запишем уравнение движения системы тел, расположенных
левее i-ro тела,
// + 1 ^ п + 1 м + !_" п +
Zmja^Fymj + Zmjg + ZNj+ZF-f,
j = i +\ * F j = i+lJ у = / + Г у = / + I J
в проекциях иа оси системы координат:
(n-i+ l)ma = Fynpj-\i(n-i+ l)mg.
Следовательно,
^упр/ = (и-" + 1)'"(в + ЦЙ-
Представив силу упругости ( через удлинение пружины i-й пружины
находим
Дди =
' Ответ: F= (п+1) т (а+ ц g); AXj =
Fynp i~ к &Xj,
(n-i+l)m(a + \ig) к ' (n-i+l)m(a + (ig)
где i = 1, 2, 3,
2.17. Два небольших тела массами OTj = 2 кг и /я2 = 1 кг связаны
невесомой и нерастяжимой нитью и расположены на горизонтальном столе. К
первому телу приложена сила F= ЮН, направленная под углом а = 30° к
горизонту (вверх). Определить ускорение системы, если коэффициенты трения
тел о плоскость одинаковы и равны ц = 0,1.
2.18. Цепочка, состоящая из п = 20 одинаковых звеньев, движется по
гладкому горизонтальному столу под действием силы F= 16 Н, направленной
вдоль цепочки. Определить силу взаимодействия между пятнадцатым и
шестнадцатым звеном (отсчет ведется от головного звена цепочки).
2.19. Система п тел масса-
F
V77777777777777777?
т2 77777777.\
"1
/77/777777777
МИ от,, т
друг с другом невесомыми и нерастяжимыми нитями, дви-Рис- 211 жется по
горизонтальной по-
верхности под действием силы Р (рис. 2.11). Коэффициенты трения всех тел
о поверхность стола одинаковы и равны ц. Определить ускорение системы и
силы натяжения всех нитей при движении системы.
2.20. Брусок массой тх, находящийся на горизонтальном столе, соединен
невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через легкий, вращающийся без
трения блок, с грузом массой т2 (рис. 2.12). Определить натяжение нити
при движении системы. Коэффициент трения бруска
о поверхность стола ц.
д? • Решете. При решении задач на ди-
Д[ иамику движения системы связанных
02 тел, движущихся с разными ускорениями (по величине или иаправле-
* ' нию), движение каждого тела нужно
рассматривать отдельно. Если при т\8 3 1 I-к *1 этом тела,
входящие в механическую
систему, движутся в разных направлениях, то для каждого тела удобно
выбрать свою систему отсчета, направив одну из координатных осей вдоль
вектора ускорения. Кроме того, чтобы по-
О,
Я
тр
а2
тгё
Рис. 2.12
лучить замкнутую систему уравнений динамики, необходимо записать
соотношения, выражающие зависимость между ускорениями всех тел системы, и
установить связь между си-
74
лами, обусловленными взаимодействием разных тел. В остальном решение
таких задач принципиально не отличается от рассмотренных выше.
Рассмотрим конкретную задачу.
В зависимости от значений масс тел и коэффициента треиия система может
находиться в покое или двигаться. Поскольку в задаче требуется иайти
натяжение нити при движении системы, то нужно также определить условие,
при котором движение системы возможно.
Рассмотрим каждое тело отдельно.
На брусок действуют сила тяжести ml g, сила треиия , сила реакции Й и
сила натяжения иити ^ . На груз действуют сила тяжести m2 g и сила
иатяжеиия иити ?2.
Так как блок иевесом, трения в оси блока нет и нить нигде не пережата, то
силы
Поскольку нить, соединяющая тела, иерасгяжима, то брусок и груз за равные
промежутки времени пройдут одинаковые расстояния
- S2, Sy
¦ '/2 a, t\
S2 - V2 а2 1 ¦
Следовательно, ускорения грузов а1 = а2 = а.
Поскольку тела движутся в разных направлениях, то удобно для бруска и
груза ввести свою систему координат (A'lOlYl и О^С2 соответственно).
Запишем уравнения движения тел системы
"'[al = mig + ?rp + rf+fi, m2a2 = m2j; + %
