Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
равновесия на некоторое расстояние и предоставим самой себе. Тогда в
некоторый момент времени смещение бусинки от положения равновесия будет
равно х (рис. 12.75, б). Если ось ОХ направить в сторону смещения, то
результирующая сила в проекции на эту ось будет иметь значение Fx = Fm2-
тg, где сила Кулона
Следовательно,
F , =-----------а------
' ЭЛ 2 , ,, ч2
4яе0(/0 + *Г
Fr = -
4л е"(/" + *) С учетом условия равновесия (рис. 12.74, а)
mg = F3nl,
-mg.
где
получим
4л 0О (/" + х)
4л е" /"
1 ~
или Fг = -
__________9L
(1)
(2)
о о
,2 I
1
±
/п
г Мо-(у
' 4* Ео 1 ?(/" +
(/0+х)
4 л 80 (10+Х?
Так как рассматриваются малые колебания, то х "/0 и выражение для
результирующей силы Fz можно записать в виде
410
F q2 ill-lo-^lpx-x2 |____________q* s-x(2l0 + x) "г |-2/0дп___________?
* 4яео /о(/о + ^)2 4пео ll(lo + x? ' 4яео ? 1 2ЛВо /3 |3)
Из (3) следует, что сила Fx пропорциональна смещению х бусинки из
положения равновесия и, как было отмечено выше, действительно является
возвращающей. Это означает, что бусинка будет совершать гармонические
колебания. При таких колебаниях сила Fx связана с коэффициентом к
возвращающей силы соотношением
Fx = -kx. (4)
Следовательно, из (3) - (4) находим 2
к = -^- .
2я 6q /q
Выразив величину заряда q бусинок из соотношений (1) - (2)
q2= 4it E0mgll
получим
k = 2mg/l0.
Используя связь коэффициента возвращающей силы с периодом гармонических
колебаний ____
Т= 2 m/k,
окончательно находим
T=2n^l0/2g.
• Ответ: Т=2п >/ l0/2g.
12.90. На концах тонкого непроводящего горизонтального стержня длиной
/ закреплены две маленькие бусинки, а третья надета на стержень, по
которому она может перемещаться без трения.
Всем бусинкам сообщают одинаковые заряды q.
Найти период малых колебаний подвижной бусинки, если ее масса равна т.
12.91. Горизонтальный желоб выгнут по цилиндрической поверхности:
слева по радиусу R, справа - по радиусу 2R (рис. 12.76). На дне желоба
находится бусинка массой т и зарядом q, а в точке О закреплен такой же по
знаку заряд величиной Q. Найти период малых колебаний бусинки. Трением
пренебречь.
12.92. На какое минимальное расстояние смогут сблизиться два
электрона, если они движутся навстречу друг другу из бесконечности с
относительными скоростями и^, = 106 м/с. Заряд электрона \е\ = 1,6-10"19
Кл, его масса т = 9,М0'31 кг.
• Решение. При движении одной заряженной частицы в электрическом поле
другой сила взаимодействия между ними будет изменяться обратно
пропорционально каадрату расстояния между зарядами. Для читателя, хорошо
обладающего навыками интегрирования, работу такой силы при произвольном
перемещении зарядов определить несложно. Однако гораздо проще решать
подобные задачи, если воспользоваться законом сохранения механической
энергии.
Пусть электроны на бесконечном расстоянии друг относительно друга имеют
скорости
и, и ъ2. Тогда в исходном положении полная механическая энергия
системы двух рассматриваемых зарядов будет равна сумме их кинетических
энергий:
411
Wt = l/i m v* + l/2 m Uj, где учтено, что в начальном положении частицы
не взаимодействуют.
При движении электронов навстречу друг другу их скорости будут
уменьшаться, так как движение каждой из частиц будет происходить в
тормозящем поле другой. Однако предполагать, что в момент сближения,
электронов иа минимальное расстояние скорости обеих частиц станут равными
нулю, нет никаких оснований. Считая, что рассматриваемые две частицы
образуют замкнутую систему, на основании закона сохранения импульса,
записанного в виде
.-> -> -> Л &Р=Рг~Р 1 = °
(где рj, - начальный и конечный импульсы системы соответственно),
можно сделать
вывод, что на минимальном расстоянии скорости частиц станут равны нулю
(т.е. р2 = 0) только в случае, если в начальный момент импульсы частиц
будут равны по величине и противоположны по направлению. В общем случае
этого не происходит. Следовательно, записав импульсы в развернутом виде
^i = mU| + m"2, р2 = (т + т) и (где и - скорость электронов на
минимальном расстоянии между ннмн), получим
(т + т) о - (т и, + тiJj) = 0.
Отсюда найдем скорость о:
О = (б, + Оз). (1)
Теперь можно записать выражение для полной механической энергии системы в
ко-
нечном положении:
w _2rr>u2+.
где второе слагаемое представляет собой потенциальную энергию
взаимодействия частиц, rmin - минимальное расстояние, на которое
сблизятся электроны.
На основании закона сохранения энергии получим
^ + ^ = ^ + (2)
Е0 rmin
Скорость и электронов иа минимальном расстоянии найдем из закона
сохранения импульса (1), записав его в проекции на произвольную ось,
параллельную векторам о, и \?2:
о = (и, - и2). (3)
Подставляя значение скорости и из (3) в (2), получаем т (о, + о/ и2
4п ео гтт
Следовательно, искомое минимальное расстояние между электронами
'пт~------^Ц-з'Ю-'м,
я 6о т Oq^h
где учтено, что при сближении электронов вдоль одной прямой их
относительные скорости равны U(mi = о, + о2.
• Ответ: rmin =-------^-г-* I0'9 м.
