Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
потенциал <рА/>Ф№ т.е. на обкладке конденсатора С5, присоединенной к
точке М, будет находиться положительный заряд. Тогда
?|-9з+?5 = 0- (1)
Аналогично, для зарядов на обкладках конденсаторов С2, С4, С5,
присоединенных к точке N:
?2-?4-?5 = °. (2)
где 9,, q2,, q2, q4i q$ - заряды на соответствующих конденсаторах.
Используя связь между зарядом на обкладках конденсатора и разностью
потенциалов между ними
q = С Дф,
заряды q]t q2> qv q4, q5 можно представить в виде
<li = Cl(.%f-<f>A) = Clx; 92 = С2 (фД: ~ ф.4) = С2 у, ?3 = Сз(фв-фА/) =
С3(Дф-дс);
?4 = с4 (Фв _ Фл) = с4 (ДФ -У)> Я s = с5 (Фл/ - Фл') = С5(х-у).
Теперь выражения (1) - (2) можно записать по-другому:
С, ж - С3 (Дф - х) + С5 (х - у) = 0, С2у~С4 (Лц>-у) ~ С, (х-у) = 0. (3)
Решив систему уравнений (3) относительно х и у, получим
С3 (С2 + С4 + С5) + С4 С5
^=Фя=АФ------------------------------------г ;
(С, + С3 + С5) (С2 + С4 + С5) - с52
С4 (С! + С3 + С5) + с3 с5
у = Ф" = Дф- - - --------------
(С, + С3 + С5) (С2 + С4 + С5) - с5
Легко заметить, что в случаях, если С, С4 = С2 С3, потенциалы фм = фл<,
т.е. заряд конденсатора емкостью С5 будет равен нулю. Это означает, что
конденсатор С5 в накоплении зарядов участия не принимает и его можно не
учитывать при вычислении емкости такой схемы. В этом случае говорят, что
мост емкостей сбалансирован. Емкость такой схемы (рнс. 12.59, в)
= (С^^МСз^-С4) обш С, + С2 + С3 + С4 '
Вернемся к нашей задаче.
Если известны потенциалы в точках М и N, то полный заряд q на батарее
конденсаторов (он равен суммарному заряду на обкладках конденсаторов С, и
С2, присоединенных к точке А, или заряду на обкладках конденсаторов С3 и
С4, присоединенных к точке В) может быть найден как
Я = ?з + ?4 = сз (Фв ~ Фа/) + С4 (фв - Фд,) = С3 (Дф - х) + С4 (Дф-у) =
. I " " Ci (С2 + С4 + С5) + С4 (С, + С3 + С5) + 2 С3 С4 С51 = Дф С2+ С4--
-----------------------------------------5------ .
1 (С,+С3+С5) (С2 + С4 + С5) - с5 J
Следовательно, емкость схемы между точками Л и В
__2_ С32 (С2 + С4 + С5) + С4 (С, -t- С3 -t- С5) + 2 С3 С4 С5
0бщ~ Дф 2 4 (C,+C3 + C5)(C2 + C4 + C5)-C52
Используя значения емкостей конденсаторов (С, = С4 = С5 = С, С2 = С3 =
С0), после преобразований получаем
С (3 С0 + С)
" С (3 С0 + С) 06111 ЗС + С0 •
. Ответ: co6in = -J--.
399
Рис. 12.6) Рис. 12.62
12.61. Найти емкость батареи конденсаторов между точками А и В,
которая показана на рис. 12.60.
12.62. Найти емкость батареи конденсаторов между точками А и В,
которая показана на рис. 12.61.
12.63. Найти емкость батареи конденсаторов между точками А и В,
которая показана на рис. 12.62.
ЧI
Чг
С
в
Рис. 12.63
Работа и энергия в электростатическом поле
12.64. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы переместить заряд
д0 из точки С в точку В в поле двух точечных зарядов и q2 (рис. 12.63)?
Расстояния a, d, I известны.
• Решение. Так как электрическое поле неподвижных зарядов потенциально,
то работа по перемещению заряда q0 из точки С в точку В не будет зависеть
от формы траектории, по которой перемещают частицу, и равна разности
энергий заряда q0 в конечной и начальной точках пути:
A=WB-WC.
Энергия заряда д0 в поле двух точечных зарядов равна
^=?о(<Р| +Фг)>
где ф|, ф2- потенциалы электрического поля зарядов qx и q2 соответственно
в точке расположения заряда q0.
Так как потенциал точечного заряда q в произвольной точке определяется
как
Ф
= _2_
4л Е0 Г '
Я\
Яг
то энергия заряда q0 в точке С
' 4л е0 (d + / + о) 4л е0 (/ + а) р где первое слагаемое соответствует
потенциалу электрического поля, создаваемого зарядом qv а аторое -
зарядом q2.
Аналогично, для точки В:
W" = q 0|------^-г + -
Следовательно, искомая работа
A=Jo_IJh_ + Sl.
Яг
• Ответ. А = 400
ЯоО
I d+1 + а
4ле0(У+/) 4л г01'
___02_1 %а_\ _9|
1 + а'
Ь 1
, Яг 1
4л Eq 1 (d +1) (d+l + а) I(/ + а) ^
4 л е0 1 (d +1) (d + / + а) 1(1 + а)1
12.65. Точечные заряды qx = - 1,710"8 Кл и q2 = 2-10'8 Кл находятся
от точечного заряда qQ = 310"8 Кл на расстояниях /, = 2 см и 12 = 5 см
соответственно. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поменять
местами заряды qx и q{>.
12.66. Два шарика с одинаковыми зарядами q- 10*7 Кл, лежащие на
гладкой горизонтальной плоскости, прикрепили к концам неидеальной пружины
длиной в недеформированном состоянии /0 = 8 см и отпустили. Какое
количество энергии перешло в тепло при затухании колебаний, если
расстояние между шариками после прекращения колебаний стало равным /=10
см?
12.67. Точечный заряд q = 210"5 Кл распо- а
ложен вблизи бесконечной равномерно заряженной пластины с поверхностной
плотностью заряда а = -50 нКл/м2. Заряд перемещают из точки 1 в точку 2
под углом а = 60° к пластине (рис. 12.64). Определить минимальную работу,
которую необходимо совершить при таком перемещении. Расстояние между
точками 1 я 2 1=5 м. Рис1164
• Решение. Так как по условию задачи необходимо определить
минимальную работу, то заряд q будем перемешать без ускорения. Для этого
