Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
нити, находится во внешнем электрическом поле, силовые линии которого
горизонтальны. При этом нить образует угол а = 45° с вертикалью.
Насколько изменится угол отклонения нити при уменьшении заряда шарика на
л = 10%?
12.19. Шарик, подвешенный на невесомой непроводящей пружине
жесткостью к, помещен в однородное электрическое поле, векторы
напряженности Е которого направлены вертикально вверх. Насколько
изменится длина пружины, если шарику сообщить положительный заряд ql
12.20. Два одинаковых точечных заряда q расположены на расстоянии 2а
друг от друга. Определить максимальное значение величины напряженности
электрического поля этой системы зарядов на прямой, перпендикулярной
линии, соединяющей заряды и проходящей через ее середину.
• Решение. Рассмотрим произвольную точку О
на прямой, перпендикулярной лннни, соединяю- -з
щей заряды н проходящей через ее середину -га а >^ 2
(рнс. 12.39).
Согласно принципу суперпозиции элекгрн-ческих полей, каждый заряд создает
поле неза- |
внснмо от присутствия в пространстве других q д
зарядов. Напряженность 2 электрическою поля
•с."'_______________iQ______________
в данной точке может быть найдена как геомет-
Ц_______________2а_______________"4
рнческая сумма напряженностей 2, н полей, ^
создаваемых каждым зарядом в отдельности:
2=2,+4-
Напряженности 2, и ?2 полей, создаваемых первым и вторым зарядами, будут
равны по величине
Е -F --------а---
с, - с j - 2 ,
4 я е0 г
где г - расстояние от каждого из зарядов до точки О.
Векторы 2?, и 2?2 направлены вдоль прямых, соединяющих заряды с точкой О,
от зарядов, если q > 0, и к зарядам, если q < 0. рассмотрим случай q> 0.
В силу симметрии расположения зарядов относительно прямой 00' абсолютное
значение вектора 2?
" " " </cos а
Е = 2 ?, cos а = ---------г.
2ле0г
383
Обозначим расстояние 00' через х. Тогда расстояние г и значение cos а
можно представить в виде
T-V7T7, cos &-~ = I -y-i .
Следовательно, +
?=?(*) =-------
2п Е"
¦
'О + °2)
Так как числитель функции Е = Е(х) линеен относительно х, а знаменатель
растет как х2, то это означает, что при небольших значениях х функция Е
(х) растер достигая максимального значения при некотором х0. Прн д: > х0
функция Е (д) убывает. Следовательно, в некоторой точке на прямой 00'
функция Е (х) принимает максимальное значение.
Исследуем функцию Е = Е(х) на экстремум:
dE
dx
dt___________q_
2ж en
(x2 + a2)3"5 - V2 x (x2 +
a2) 2 д:
(x2**2)3
= 0.
Отсюда найдем значение расстояния х0, при котором напряженность
электрического поля в точке О будет наибольшей:
(х% + а2) - 3 = 0, нлн х0 = a/V~2.
Следовательно, максимальное значение напряженности электрического поля на
рассматриваемой прямой
^rnax = Е (х0) =
3VJ*
е"а
Еелн величина каждого заряда q < 0, то решение задачи ничем не отличается
от рассмотренного выше и приводит к тому же результату. Читатель может
убедиться в этом, самостоятельно решив задачу для случая q < 0.
• Ответ: Е"
3 VT ж е0 а2
12.21. Два одинаковых по величине разноименных заряда величиной <7=18
нКл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со
стороной о = 2 м. Определить напряженность электрического поля в третьей
вершине треугольника.
12.22. В углах квадрата со стороной а расположены четыре одинаковых
точечных заряда q. Определить максимальное значение величины
напряженности электрического поля ?тах на оси, проходящей через середину
квадрата перпендикулярно его плоскости.
12.23. На тонком кольце радиусом R равномерно распределен заряд Q.
Определить силу, действующую на точечный заряд q, находящийся на оси
кольца на расстоянии h от его центра. Чему равна напряженность
электрического поля в этой точке?
12.24. Металлический шар радиусом R{ = 10 см помещен в центр
толстостенной металлической сферы с внутренним радиусом R2 = 20 см и
наружным радиусом /?3 = 30 см (рис. 12.40). Заряд шара
qx = Ю"10 Кл, заряд сферы q2 = -210'1и Кл. Найти и графически изобразить
зависимость величины напряженности электрического поля Е от расстояния г
до центра шара.
Рис. 12.40
384
• Решение. Электрическое поле заряда qx приведет к появлению
индуцированных зарядов q' и q" на внутренней и внешней поверхностях
сферической оболочки, причем, как следует из закона сохранения заряда, q'
+ q" = 0.
Сферическая симметрия всех тел системы позволяет предполагать равномерное
распределение зарядов на соответствующих поверхностях и строгую
радиальность силовых линий.
Так как силовые линии напряженности электрического поля терпят разрыв на
любой проводящей поверхности, то найдем величины напряженности поля в
четырех разных областях - в точках, где расстояние г от центра шара
ограничено соответствующими радиусами окружностей: 0 < г < Л,, Л, < г <
R2, R2 < г < R3 н r>R3.
В области 0 < г < Л, электрическое поле равно нулю, так как шар радиусом
Л, изготовлен из металла:
Е(0<г< Л,) = 0. (1)
В области Л, < г < R2 результирующее электрическое поле будет равно полю,
