Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
радиуса также будет равен q/e0. Можно показать, что этот результат
справедлив для любой замкнутой поверхности S0 (см. рис. 12.15) и для
произвольного расположения заряда (или зарядов) внутри этой поверхности.
В этом суть теоремы Гаусса: поток вектора напряженности электрического
поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме
зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной
т ?0; ! N
Фе^-ЪЧ, (12.23)
60 i= I
Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на трех полезных для решения
задач примерах. Прежде чем приступить к рассмотрению этих примеров,
введем понятия поверхностной и объемной плотностей заряда.
^ Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое тела, то
распределение заряда можно характеризовать с помощью поверхностной
плотности заряда а, которая определяется как величина заряда,
приходящаяся на единицу площади поверхности тела, несущего заряд. Если
заряд распределен по объему тела, то используется объемная плотность
заряда р - заряд, находящийся в единице объема тела. В случаях
равномерного распределения заряда q по поверхности площадью S тела или по
его объему V
a-q/S или p-q/V
соответственно.
1. Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого равномерно
заряженной бесконечной плоскостью. Пусть для определенности поверхностная
плотность заряда на плоскости о > 0. Из соображений симметрии вытекает,
что векторы напряженности поля в любой точке направлены перпендикулярно
плоскости. Также очевидно, что в симметрично удаленных от плоскости
точках векторы напряженности одинаковы по величине и противоположны по
направлению.
Представив себе мысленно цилиндрическую поверхность с образующими,
перпендикулярными к плоскости, и основаниями площадью S (рис. 12Л6). В
силу симметрии ЕХ=Е2-Е и ЕХ=Е2 перпендикулярны основаниям цилиндра.
Поскольку векторы напряженности поля параллельны боковой поверхности,
361
то поток вектора напряженности через всю поверхность цилиндра будет равен
потоку через его основания:
= ?j S + Е2 S - 2Е S.
С другой стороны, по теореме Гаусса
ФЕ = я/г0,
где q - заряд, заключенный внутри поверхности цилиндра:
q = a S.
Следовательно,
Е = -. (12.24)
2е0
Полученный результат свидетельствует о том, что величина напряженности
поля бесконечной заряженной плоскости на любых расстояниях от нее
одинакова.
Для плоскости, заряженной отрицательно, результат будет таким же, лишь
направление вектора Е изменится на противоположное.
2. Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого равномерно
заряженной сферой радиуса R.
Поле, создаваемое сферической поверхностью, заряженной равномерно,
сбудет, очевидно, центрально-симметричным, т.е. в любой точке векторы
напряженности поля будут направлены вдоль радиусов сферы.
Вообразим концентрическую с заряженной сферой поверхность радиуса r>R
(рис. 12.17). Во всех точках этой поверхности величина проекции вектора Е
на нормаль будет одинакова. Поэтому суммарный поток вектора напряженности
поля через выбранную поверхность
0E(r>R) = E 4ЯГ2.
С другой стороны, весь заряд сферы находится внутри этой поверхности.
Поэтому
0E(r>R) = q/E 0.
Следовательно,
E(r>R) = -2-г, (12.25)
4я е0 г
т.е. электрическое поле вне заряженной сферы тождественно полю точечного
заряда, помещенного в центр сферы.
Поверхность радиуса г < R не будет содержать зарядов. Поэтому внутри
заряженной сферы
E(r<R) = 0. (12.26)
Очевидно, что для сферы, заряженной отрицательно, формулы (12.25) -
(12.26) остаются справедливыми, только векторы напряженности будут
направлены в противоположные стороны (к центру сферы).
362
Поскольку поле, создаваемое точечным зарядом, такое же, как поле вне
заряженной сферы, то потенциал сферы при г > R может быть вычислен по
формуле (12.16):
ф(г>Л) = -2-. (12.27)
4я е0 г
Внутри сферы поле отсутствует, поэтому при перемещении заряда из точки,
расположенной на расстоянии г < R от центра сферы, на ее поверхность силы
поля работы не совершают. Это означает, что работа сил поля при
перемещении заряда из этой точки на бесконечность равна работе при его
перемещении с поверхности сферы на бесконечность. Поэтому потенциал
внутри сферы одинаков и равен потенциалу на ее поверхности:
Я
ф(г <R) = ф(г = R) =
4я е0 R
(12.28)
3. Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого шаром
радиуса R, равномерно заряженным по объему с плотностью заряда р.
Поле, создаваемое таким шаром, будет центрально-симметричным. Легко
понять, что вне шара для поля получится такой же результат, что и для
поля вне сферы.
Найдем поле внутри шара.
Выберем концентрическую с шаром сферическую поверхность радиуса r<R (рис.
12.18). Поток вектора напряженности поля через поверхность этой сферы
ФЕ(г <R) = Е4я г2.
С другой стороны, по теореме Гаусса
0E(r<R) = q'/eo, гае ". з
4Л я R3 R3
заряд, заключенный в сфере радиуса г. Следовательно,
E(r <R) = -q r-4я e0R
(12.29)
Таким образом, внутри равномерно заряженного шара напряженность поля
