Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из
бесконечности положительного заряда, равного 1 Кл, внешним силам
необходимо совершить работу в 1 Дж.
Потенциал можно использовать, подобно линиям напряженности, для
графического изображения электрического поля. Объединяя в электрическом
поле точки, обладающие одинаковым потенциалом, получают некоторые
поверхности, называемые поверхностями равного потенциала или
эквипотенциальными поверхностями. Очевидно, что для уединенных точечных
зарядов эквипотенциальные поверхности представляют собой совокупность
сфер с общим центром, расположенном на заряде (рис. 12.11).
Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля
Рассмотрим однородное электрическое поле напряженностью ^ созданное
некоторой системой неподвижных зарядов. Поместим в точку 1
358
заряд q и перенесем его в точку 2 вдоль ^
вектора А/(рис. 12.12). Работу сил эдектри- j
ческого поля при этом перемещении можно % \ д/ 2
выразить, во-первых, через напряженность г'
поля Рис- 1212
Аг_2 = ql?- &t= q Е cos а А/ = q Et А/
(где Е1 - проекция вектора на направление перемещения; А/ - величина
перемещения), во-вторых, через разность потенциалов точек / и 2:
^1-2 = 9 (<Pi " Фг) = " Я (Ф2 - Ф1 ) = ~Ч Лф-
Приравнивая оба выражения для работы, получаем
Е, = -^-. (12.20)
'А/
В общем случае неоднородного поля точки / и 2 нужно выбирать достаточно
близко друг от друга (строго говоря, бесконечно близко), чтобы
напряженность поля на перемещении А/ можно было считать постоянной.
Переходя к пределу при А/ -> 0, из (12.20) получим
= (12.21)
Производная, стоящая в правой части выражения (12.21), характеризует
быстроту изменения потенциала в данном направлении. Следовательно,
проекция Ei вектора напряженности на данное направление
равна
скорости убывания потенциала в этом направлении.
Соотношения (12.20) - (12.21) можно использовать для определения единицы
измерения напряженности электрического поля. В системе СИ такой единицей
является вольт на метр [В/м] - это напряженность однородного
электрического поля, создаваемая разностью потенциалов в 1 В между
точками, находящимися на расстоянии 1 м на линии напряженности.
Рассмотрим две эквипотенциальные поверхности ф, и ф2<Ф1 (рис. 12.13).
Вектор Е напряженности электрического поля в произвольной точке
эквипотенциальной поверхности направлен перпендикулярно касательной к ней
в данной точке. В этом легко убедиться, если допустить наличие
касательной составляющей ?^аСаг вектора Е, например, на эквипотенциальной
поверхности ф,: тогда работа, совершаемая силами электрического поля по
перемещению заряда q вдоль эквипотенциальной поверхности на расстояние
А/, имела бы, с одной стороны, значение A-q А/ Ф 0, а с другой - А = q
(ф, - ф,) = 0. Следовательно, ^сасаг = 0. Поэтому силовые линии поля
всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены от
поверхности с большим потенциалом ф, к поверхности с потенциалом ф2 <ф).
359
Теорема Гаусса
Вычисление величины напряженности электрического поля во многих случаях
сильно упрощается, если воспользоваться теоремой, излагаемой ниже.
Прежде всего введем понятие потока вектора напряженности электрического
поля.
Рассмотрим плоскую поверхность S, которую пронизывают силовые линии
однородного электрического поля напряженностью Е, составляющие угол а с
нормалью ~п к поверхности (рис. 12.14). Величину ФЕ = ЕScos а = EnS
(12.22)
(где Еп = Е cos а - проекция вектора 1?на направление нормали) называют
потоком вектора напряженности электрического поля через поверхность S.
Если поле неоднородно и поверхность S, через которую ищут поток, не
является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые
элементы dS и каждый элемент считать плоским, а поле, его пронизывающее,
- однородным. Элементарный поток через такую площадку равен
d0E = EdS cos a = EndS, а полный поток ФЕ через всю поверхность 5 - их
алгебраической сумме. Можно показать, что величина суммарного потока ФЕ
не зависит от формы поверхности S.
Из определения потока видно, что он может быть положительным (если
направление вектора Е составляет острый угол с нормалью), отрицательным
(если направление вектора Е составляет тупой угол с нормалью) и
равным_нулю (если вектор Е перпендикулярен нормали).
Рассмотрим картину силовых линий электрического поля неподвижного
точечного заряда q> О (рис. 12.15).
Окружим заряд воображаемой сферой радиуса R с центром в точке
расположения заряда. Площадь поверхности сферы равна
S = 4nR2.
Так как векторы напряженности электрического поля во всех точках на
поверхности рассматриваемой сферы направлены по радиусу (т.е. по нормали
к поверхности сферы) и одинаковы по величине, то поток вектора
напряженности электрического поля точечного заряда q через поверхность S
0E = E"S = E"4nR2.
360
Поскольку в точках на поверхности сферы (см. формулу (12.8))
Е" = Е = Т
то ео R
ФЕ = q/e0.
Легко видеть, что поток вектора 1? через поверхность сферы другого
