Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
молекулы, а затем усредняя это движение по огромному числу составляющих
этот газ молекул (при обычных условиях в 1 см3 газа содержится 2,7-1019
молекул).
Если в сосуде объемом V содержится N одинаковых молекул идеального газа
массой т0 каждая, движущихся хаотически, то эти молекулы, сталкиваясь со
стенками сосуда и передавая им часть своего импульса, оказывают на них
давление
р = 2/5 п < епосг >, (9.1)
где n = N/V - концентрация газа; < бпосг > = < Vi т0 и2 > - кинетическая
энергия поступательного движения молекулы, усредненная по всем N
молекулам газа; и - скорость поступательного движения молекулы. Уравнение
(9.1) называется основным уравнением кинетической теории идеального газа.
Если воспользоваться определением абсолютной температуры (II.7), согласно
которому
< 1/г т0 и2 > = 3/i k Т, то уравнение (9.1) можно записать в виде
р = п к Т. (9.2)
Это и есть уравнение состояния идеального газа, причем оно записано в
такой форме, которая не содержит никаких специфических свойств того или
иного конкретного газа. Так, из (9.2) следует, что при заданных давлении
р и температуре Т, концентрации молекул любого газа одинаковы и равны p/к
Т.
Если в сосуде содержится смесь из г различных идеальных газов, то полное
число молекул в сосуде равно
N=iNt. (9.3)
/= 1
где Nj - число молекул /-го сорта.
Подставляя (9.3) в (9.2) и учитывая, что все газы находятся в равновесии
(т.е. обладают одинаковой температурой Т), получим
1гТ Г Г N: Г
P = ^-^Ni = kTYl~ = kTYlni, (9.4)
У 1=1 1 = 1 У 1=1
где rtj = N/V - концентрация молекул /-го сорта.
280
Соотношение (9.4) можно записать в виде
P = ZPi, (9.5)
/ = 1
где pj = rtjkT - так называемое парциальное давление г-го компонента
смеси, т.е. давление, которое производил бы этот компонент смеси, если бы
он один занимал весь объем сосуда. Уравнение (9.5) является
математической записью закона Дальтона для смеси идеальных газов, который
гласит, что давление смеси газов равно сумме парциальных давлений
компонентов смеси.
Вернемся к уравнению состояния (9.2) для идеального газа,
состоящего из N одинаковых молекул массой т0 каждая. Число
молекул газа
массой т и молярной массой ц равно (см. формулу (II.6))
N = ^NA = vNA,
где v = m/jj. - число молей газа. Подставляя это выражение для N в (9.2)
и учитывая, что k NA = R (см. (11.10)), получим уравнение, которое
называется уравнением Менделеева - Клапейрона'.
PV=-RT=vRT. (9.6)
Ц
Это уравнение, в отличие от (9.2), содержит специфическое свойство
конкретного газа - его молярную массу. Разделив (9.6) на объем газа V и
введя плотность газа
P=f, (9.7)
получим
р = ^ЯТ. (9.8)
Ц
Из уравнения (9.8) следует, что плотность газа не постоянна, а
определяется его давлением и температурой.
Для смеси различных газов, находящихся в равновесии, уравнение (9.6)
можно записать в виде
pV=J!LRT, (9.9)
или
p = -?-RT, (9.10)
^СМ
где p = Hj=ipj- давление смеси; т = Е, = i mt - масса смеси {т1 - масса
/-го компонента смеси); p = m/V= i т/ V= i pt - плотность
смеси
газов ip, - плотность /-го компонента смеси) и
т 1 /о 11ч
Нем ~ (9.П)
г т, г т/т У-- У- -----
/=1Ц, ;=1 Ц,
- средняя молярная масса смеси. Здесь т/т - относительное содержание
(по массе) /-го компонента смеси. Например, молярная масса воздуха, со-
281
Ро:
1,29 кг/м .
стоящего из азота N2 (" 78%), кислорода 02 (" 21%) и небольшого
количества аргона, водорода и других газов, равна 0,029 кг/моль.
Используя это значение и уравнение (9.10), можно, например, найти
плотность воздуха при нормальных условиях, т.е. при давлении р0 =
1,01310s Па и температуре Т0 = 273,15 К (или при t = 0°С):
А) Нем _ 1,013 1 05 0,029 RT0 8,31-273,15 Обратимся еще раз к уравнению
Менделеева - Клапейрона (9.6), описывающему связь между макроскопическими
параметрами газа р, V и Т (будем считать, что количество вещества в газе
v = m/jj. = const). При изменении состояния газа меняются, вообще говоря,
все три параметра газа, связанные уравнением (9.6). Если бы мы попытались
изобразить графически эти изменения, то мы бы получили некоторую
поверхность (при постоянном числе молей v) в трехмерной системе
координат, на осях которой откладывались величины р, V и Т. Поскольку,
однако, пространственное построение на практике неудобно, ограничиваются
обычно построением плоских графиков, изображая на них кривые,
представляющие собой сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными
той или иной координатной оси. Так, пересекая поверхность плоскостями,
перпендикулярными оси температур Т (при этом Т = const), мы получим
семейство кривых, изображающих зависимость давления р от объема V при
различных заданных значениях температуры Т\ такие кривые называются
изотермами. Для идеального газа при Т = const (см. (9.6))
pV= const. (9.12)
т2 6) Рис. 9.1
Т,
Т2
в)
Соотношение (9.12) выражает закон Бойля - Mapuomma. Семейство изотерм,
как видно из (9.12), представляет собой семейство гипербол (рис. 9.1, а),
расстояние до которых от начала координат увеличивается при увеличении
