В помощь поступающим в вузы. Физика. Молекулярная физика. Тепловые явления. Электричество и магнетизм - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
электрического поля напряженностью Е, составляющие угол а с нормалью
г?площадке (рис. 12.14). Величину Фе = ЕБ cos a = EnS (12.22)
(где Еп = Е cos а - проекция вектора if на направление нормали) называют
потоком вектора напряженности электрического поля через поверхность S.
Рис- 12.14
Если поле неоднородно и поверхность S, через которую ищут поток, не
является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые
элементы dS и каждый элемент считать плоским, а поле, его пронизывающее -
однородным. Элементарный поток через такую площадку равен d0E = Е dS cos
а = Еп dS, а полный поток ФЕ через всю поверхность S- их алгебраической
сумме. Можно показать, что величина суммарного потока ФЕ не зависит от
формы поверхности S.
Из определения потока видно, что он может быть положительным (если
направление вектора ^составляет острый угол с нормалью), отрицательным
(если направление вектора ^составляет тупой угол с нормалью) и равным
нулю (если вектор перпендикулярен нормали).
Рассмотрим картину силовых линий электрического поля неподвижного
точечного заряда q > 0 (рис. 12.15).
Окружим заряд воображаемой сферой радиуса R с центром в точке
расположения заряда. Площадь поверхности сферы равна S = 4л Л2.
147
Поскольку векторы напряженности электрического поля во всех точках на
поверхности рассматриваемой сферы направлены по радиусу (т.е. по нормали
к поверхности сферы) и одинаковы по величине, то поток вектора
напряженности электрического поля точечного заряда q через поверхность S
будет равен
ФЕ = Еп S = Еп 4л R2.
Поскольку в точках на поверхности сферы (см. формулу (12.8))
то
Еп Е~4ке ПЛ2'
Ф* = 1-
Легко видеть, что поток вектора Е через поверхность сферы другого радиуса
также будет равен q/ё0. Можно показать, что этот результат справедлив для
любой замкнутой поверхности S0 (см. рис. 12.15) и для произвольного
расположения заряда (или зарядов) внутри этой поверхности. В этом суть
теоремы Гаусса-, поток вектора напряженности электрического поля через
произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов,
заключенных внутри этой поверхности, деленной на е0:
ФЕ = ~%Чг (12.23)
ео 1
Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на трех полезных для решения
задач примерах. Прежде чем приступить к рассмотрению этих примеров,
введем понятия поверхностной и объемной плотностей заряда.
Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое тела, то
распределение заряда можно характеризовать с помощью поверхностной
плотности заряда о, которая определяется как величина заряда,
приходящаяся на единицу площади поверхности тела, несущего заряд. Если
заряд распределен по объему тела, то используется обьемная плотность
заряда р - заряд, находящийся в единице объема тела. В случаях
равномерного распределения заряда q по поверхности площадью S тела или по
его объему V
а = | или р = ^
соответственно.
1. Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого равномерно
заряженной бесконечной плоскостью. Пусть для определенности поверхностная
плотность заряда на плоскости о > 0. Из соображений симметрии вытекает,
что векторы напряженности поля в любой точке направлены перпендикулярно
плоскости. Также очевидно, что в симметрично удаленных от плос-сости
точках векторы напряженности одинаковы по величине и противоположны по
направлению.
Представим себе мысленно цилиндрическую поверхность с образующими,
перпендикулярными к плоскости, и основаниями площадью S (рис. 12.16).
148
(12.24)
В chjiv симметрииЕх =?2 -Е и ltx=E2 перпендикулярны основаниям цилиндра.
Поскольку векторы напряженности поля параллельны боковой поверхности, то
поток вектора напряженности через всю поверхность цилиндра будет равен
потоку через его основания:
Фе = Ех S + Е2 S = 2Е S.
С другой стороны, по теореме Г аусса
Ео
где q - заряд, заключенный внутри поверхности цилиндра, равный
q = o S.
Следовательно,
Е = ~-2е0
Полученный результат свидетельствует о том, что величина напряженности
поля бесконечной заряженной плоскости на любых расстояниях от нее
одинакова.
Для плоскости, заряженной отрицательно, результат будет таким же, лишь
направление вектора Е изменится на противоположное.
2. Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого равномерно
заряженной сферой радиуса R.
Поле, создаваемое сферической поверхностью, заряженной равномерно, будет,
очевидно, центрально-симметричным, т.е. в любой точке векторы
напряженности поля будут направлены вдоль радиусов сферы.
Вообразим концентрическую с заряженной сферой поверхность радиуса г > R
(рис. 12.17). Во всех точках этой поверхности величина проекции вектора Ж
на нормаль будет одинакова. Поэтому суммарный поток вектора напряженности
поля через выбранную поверхность будет равен ФЕ(г> R) = ЕАжг1.
С другой стороны, весь заряд сферы находится внутри этой поверхности.
Поэтому Ф?(г>Л) = -3-
Следовательно,
E(r>R) = -
(12.25)
471 Б0 Г2 '
т.е. электрическое поле вне заряженной сферы тождественно полю точечного
