В помощь поступающим в вузы. Физика. Молекулярная физика. Тепловые явления. Электричество и магнетизм - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
90° к направлению силы тяжести.
• Решение. На маятник в произвольный момент движения будут
действовать три силы: сила тяжести т g, сила натяжения нити ? и сила ,
причем
^ ^эл-q Е
и F3Jl направлена вдоль силовых линий электрического поля.
Период гармонических колебаний математического маятника, иа который,
помимо силы тяжести и натяжения нити, действует постоянная внешняя сила
гэл, равен (см. книгу "Механика", §8):
Т
где Йэфф = I ?+ Кл/т! •
В случае, когда векторы напряженности электрического поля направлены
вдоль силы тяжести (рис. 12.145, а):
Йэфф = g + Fin/m = g + q Е/т.
Следовательно, в первом случае период колебаний маятника будет равен
б)
Рис. 12.145
г=2пЧ-
т I
mg + q Е
Если силовые линии электрического поля направлены горизонтально (рис.
12.145, б),
Следовательно,
&эфф = ^gi+ (Еэл/т)1 = '¦I g2+(q Е/т)2.
ml
Те1
> Ответ: а) Т= 2
m /
mg + qE '
б) Т = 2
ml
У
ТТЛ
1 m g + q Е~ i
12.312. Найти период малых колебаний гантели длиной / с шариками
мас-
сой расположенной вдоль однородного электрического поля напряженностью Е.
Заряды шариков гантели равны q и (-q). Силой тяжести пренебречь.
243
12313. Небольшой металлический шарик массой т, подвешенный на
непроводящей нити длиной /, колеблется по закону математического маятника
над бесконечной равномерно заряженной горизонтальной плоскостью с
плотностью заряда (+ а). Определить период колебаний маятника, если на
шарике находится заряд (- q).
+ о _____ ____ ____
т, q
Рис. 12.146
12.314. Между обкладками большого плоского конденсатора подвешен на
непроводящей ннти маленький металлический шарик массой т (рис. 12.146).
Как изменится период колебаний такого маятника, если на шарик поместить
заряд q, а пластины конденсатора зарядить с поверхностной плотностью ±о?
Колебания считать гармоническими.
12.315. Решить задачу №12,314, если маятник подвешен между пластинами
так, как показано на рис. 12.147.
12.316. Вблизи вертикальной стенки, заряженной положительно с
поверхностной плотностью заряда о, подвешено на непроводящей нити длиной
1 маленькое тело массой т и зарядом q > 0. Найти период колебаний тела,
считая их гармоническими.
12.317. Две маленькие бусинки, имеющие одинаковые заряды, надеты на
непроводящий стержень, расположенный вертикально вблизи поверхности
Земли, причем нижняя из бусинок закреплена. В положении равновесия
расстояние между бусинками равно /0. Найти период малых колебаний
подвижной бусинки. Трением пренебречь.
эл 1
г:; и
о
^ЭЛ2 \т, q
mg
777777Ш>ШГ77777777/ а) б)
Рис. 12.148
• Решение. Если пренебречь трением, то при колебаниях подвижной бусинки
на нее будут действовать две силы: сщга тяжести т $я сила Кулона F3n,
направленные в противоположные стороны. Так как сила тяжести остается
постоянной, а сила Кулона изменяется обратно пропорционально квадрату
расстояния между бусинками, то легко заметить, что при колебаниях
результирующая сила
?=?эл + mf
244
все время будет направлена к положению равновесия, т.е. будет
возвращающей.
Для определевия периода колебаний сместим подвижную бусинку из положения
равновесия на некоторое расстояние и предоставим самой себе. Тогда в
некоторый момент времени смещение бусинки от положения равновесия будет
равно х (рис. 12.148, б). Если ось ОХ направить в сторону смещения, то
результирующая сила в проекции на эту ось будет иметь значение:
Fx = F3R2-mg, где сила Кулона Рэл 2 будет равна 2
F,
где
ЭЛ 2- . 2 •
Следовательно, п 0 +
Fx =--------(r)----т ~ >п g-
4яео(/о + *Г
Учитывая, что в положении равновесия (рис. 12Л48, а)
mg = Fsn\' (!)
2
(2)
получаем 2 8° г
JL
Или
4я Е|) (/о + х)2 471 Ё0 /02
!____1____ .11_______a2 {ti-{k + x)S
4* е0 1 (/" + X)2 102 ' 4я е0 1 /02 (/0 + х)2 1
iо (tm) <0
Так как рассматриваются малые колебания, то х "/0 и выражение
для результирующей силы Fx можно записать в виде
" _ q2 I ~ А)2 ~~ 21р х - _ g2 f -* (2/р + х) j _ _q^_ г
- 210 х i _ ^ ,,s
* 4я So /02 (lQ + xf ! 471 ко /02 (/0 + х)2* 4яео' /04 ' 2яе0 /0*'
Откуда следует, что сила Fx пропорциональна смещению х бусинки из
положения равновесия и, как было отмечено выше, действительно является
возвращающей. Это означает, что бусинка будет совершать гармонические
колебания. При таких колебаниях сила Fx связана с коэффициентом к
возвращающей силы соотношением:
Fx = -kx. (4)
Следовательно, из (3)-(4) находим
* = -*-3.
2п Е0 /о
Выражая величину заряда q бусинок из соотношений (1)-(2)
q2= 4л ёо g /02>
получаем
к-?^Я
1о '
Используя связь коэффициента возвращающей силы с периодом гармонических
колебаний
Т= 2плЩ
окончательно имеем r-j-
ГГ- Т=2 п Vу- .
• Ответ-. Т=2п . 28
2g
12.318. На концах тонкого непроводящего горизонтального стержня длиной
/ закреплены две маленькие бусинки, а третья надета на стержень, по кото-
245
торому она может перемещаться без трения. Всем бусинкам сообщают
одинаковые заряды q. Найти период малых колебаний подвижной бусинки, если
ее масса рвна т.
12.319. Тонкое кольцо радиусом R = 1 м равномерно заряжено
