Основные линейного отжига оптического стекла - Данюшевский Е.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Для вывода уравнения разобьем время / на бесконечно' малые промежутки dt, в течение которых температура изменяется на бесконечно малые значения db. Вследствие малости dt и ^0 можно считать, что температура стекла изменяется в печи не равномерно, а скачками, т. е. в течение времени dt остается постоянной и равной 0, а затем сразу изменяется на , т. е. становится равной 0 -rfO. Что же при этом произойдет с показателем преломления стекла, точнее с величиной А?
Во время выдержки в течение времени dt при температуре 0, которой соответствует а1 = 1О'г0~/ или A' — \QKi~L, в соответствии с формулами (29) или (30) Д изменится на (rfA)i=—o.xkdt или (dA)x = — A!b?- dt, отвечающие структурным превращениям в стекле.
При внезапном изменении температуры от О до 0+с/в согласно (27) и (28) будем иметь
(dA)2 = d(N—n) = — (a'+a")dt) = —a dd.
^ Е. Э. Дашошевский
19
В итоге через промежуток времени dt и через интервал температуры Ф) значение А изменится на сумму
ds = (di\)l-\-(d±)2 = —a^dt — adb
или
d\~ — A' t&dt—adb.
Деля обе части этого равенства на db и принимая во внимание, что » получим следующие общие дифферен-
циальные уравнения изменения показателя преломления:
— — —Д — а (33)
d& h v ’
или
— =-— Л2-а. (34)
М h v '
Уравнения (33) или (34) можно применять к охлаждению в области отжига стекла, когда скорость снижения температуры h=dbjdt отрицательна. Чтобы .не иметь дела с отрицательными величинами, будем считать эту скорость положительной, т. е. примем, что А>0. Тогда в (33) и (34) придется изменить знак у /г; в применении к периоду охлаждения стекла это даст
dH
ИЛИ
</Д А
rf8 h
(33а)
при Л> 0.
(34а)
При любом отжиге h—\d$ldt\ = \f'{t)\—величина переменная и лишь при линейном отжиге она постоянная: h—const.
Вопросы, относящиеся к отжигу оптического стекла по показателю преломления, были бы в значительной мере решены, если бы удалось в -простой и доступной форме проинтегрировать основное дифференциальное уравнение (33) или (34) для любой температурной кривой в области отжига и если бы были точно известны температурные кривые остывания стекла в любом месте печи. К сожалению, первое возможно только для простейших кривых, а второе изучено лишь для особых печей и неизвестно для обычных печей отжига.
Поэтому в общем случае, т. е. в нелинейном отжиге, дифференциальные уравнения отжига можно применять непосредственно
* Уравнение (34а) справедливо только три Л>0, т. е. при подходе показателя преломления к равновесной прямей снизу. При А<0, т. е. при подходе- его сверху от равновесной прямой, уравнение (34а), как это следует из
примечания на стр. 44, заменяется следующим:
d\ А’
— ^ — —- Д2 — a, h > 0. (346)
М h
50
лишь к отжигу единичной заготовки малого размера, например в лабораторной печи, где термопара помещена вплотную к этой заготовке. Так как последняя очень мала, то можно считать, что при не очень быстром ее остывании снижение температуры во всех точках заготовки идет по одним и тем же кривым и совпадает с температурной кривой охлаждения термопары, которая известна по показаниям прибора.
В этом частном случае можно вычислить из уравнения (32а) или (34а) результат отжига, т. е. абсолютное значение показателя преломления стекла отожженной заготовки 1 при любой температурной кривой остывания, применив метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, которые ввиду его громоздкости практически можно применять только к малой заготовке, но не к большому числу одновременно отжигающихся заготовок (в производственной печи).
Уравнение (34а) было проинтегрировано лишь для случая /z=const (линейный отжиг) и /г=/г0ЮР(в"е',). Здесь /г0 — начальная скорость охлаждения при температуре выдержки 0о, Р — постоянная.
В случае h = const [2] общий интеграл уравнения (34а) имеет вид
А = Л/ — п=- — CJ°(С) + К° ^ . (35)*
ХС СУ, (С)+ *,<9 v 7
Постоянная С определяется из условий, отвечающих началу охлаждения после выдержки при 0 =6 0, А—До—М)—/ц и с=?о:
2 а
/Со (С.) — Д.АГ1 (С.)
С = -----------------. (35а)**
2 а
Л (^о) 4“ (ч)
лс0
Здесь /о(?), h(t,), Ko(Q, —бесселевы функции второго
рода нулевого и первого порядков; таблицы численных значений этих функций приводятся, например, в таблицах бесселевых функций мнимого аргумента (АН СССР, 1950) и Шпильрейном [11].
Далее
Х = АГ1п 10 — -^-, м
1 При условии, если известно уравнение равновесной прямой для стекай той варю», из которой сделана эта заготовка.
* См. примечание к формуле (35а).
** Формулы (35) и (35а) являются интегралом уравнения (34а) при Д>0. В случае Д<0 (и До<0), т. е. при приближении п к N сверху от равмо-весной прямой, интегрировать >надо уравнение (346), решение которого будет другим. Приводить здесь этот интеграл мы не будем, так как можно доказать, что через небольшой промежуток времени после начала охлаждения в отжиге отрицательное Д дойдет до нуля, т. е. температурная кривая показателя преломления пересечет равновесную прямую, и Д станет положительной; тогда будут действовать уравнение (34а) и его решение (35).
51
где К— константа отжига; Ж—-модуль десятичных логарифмов, равный 0,43429, е — основание натуральных логарифмов, равное 2,71828.
