Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
случае в качестве элементарной ячейки выбирают примитивную. Иногда удобно
(см. ниже) выбрать элементарную ячейку более сложной формы. Если в
элементарной ячейке имеется а атомов (молекул, ионов), то, кроме указания
их типа, надо указать а базисных векторов ра, определяющих их положение в
ячейке *). Указанием базисных векторов ра и. типа атомов задается базис
решетки Браве. Базис вместе с векторами решетки полностью определяет
положение всех атомов кристалла.
Трансляционная симметрия кристалла проявляется в том, что смещение любой
точки кристалла на любой вектор решетки п переводит ее в эквивалентную
точку. Сопоставим такому смещению оператор трансляции Т". Совокупность
всех операторов трансляции образует группу трансляций, так как:
1) Последовательное применение двух трансляций также является
трансляцией; 2) имеется единичный элемент Т0; 3) каждой трансляции Тп
можно сопоставить ей обратную Т_" и 4) выполняется ассоциативный закон,
т. е. (T"7V) Т"" = T" (7V7V/). Результат последовательного применения
двух трансляций не зависит от того, в каком порядке они выполняются,
поэтому группа трансляций является коммутативной или абелевой.
Кроме трансляционной симметрии пространственная решетка обладает
некоторой совокупностью симметрий направлений, т. е. характеризуется
совокупностью операций, переводящих вектор решетки п в другой вектор
решетки я', исходящий из той же точки. К таким операциям относятся: 1)
инверсия /, 2) повороты Св и С4 на 60° и 90° или целые кратные к ним и 3)
отображения т в некоторых плоскостях. Вместе с тождественной операцией Е
эти операции симметрии образуют точечную группу симметрии решеток Браве.
Имеется 14 таких точечных групп и, соответственно, 14 различных решеток
Браве, которые он ввел в 1848 г., исходя из геометрических соображений.
Они подразделяются. на семь сингоний или систем (табл. 1). Группа
симметрии сингоний характеризуется элементами симметрии параллелепипеда
со сторонами а, Ь, с и углами а (между а и Ь), (5 (между b и с) и у
(между сна).
Различают решетки: 1) простые, в которых узлы расположены в вершинах
параллелепипеда; 2) базоцентрированные, в которых узлы расположены в
вершинах параллелепипеда и в центрах двух противоположных граней; 3)
объемноцентрированные - узлы расположены в вершинах и в центре
параллелепипеда и 4) гранецент-рированные - узлы расположены в вершинах и
в центрах всех граней параллелепипеда.
*) 'В молекулярных кристаллах, состоящих из анизотропных молекул, надо
также указывать их ориентацию в ячейке.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА КРИСТАЛЛОВ
13
Таблица 1
Сингонии решеток Браве и точечные группы симметрии кристалла
Название Основной Тип решетки Символ точечной группы кристалла
Элементы симметрии точечной группы, кроме тождественных
сингонии паралле- лепипед по Шен-флнсу междуна- родный
Триклинная афЬфс аф$фу простая Q - ? S2 1 I нет г
Моноклин- ная афЬ фс а = р = =90° 7 Ф 90° ( простая, \ { базоцентри- >
\ рованная J С2 С, СгД 2 m 2jtn 2 т 2, т, 1
Ромбическая или ортогональная афЬфс а = р = =7=90° ( простая,
базоцентрированная, j объемноцен- 1 1трированная,( гранецен-трирован- ¦ (
ная ) C2V D% h mm 222 mmm 2, т 2 2, т, I
Ромбоэдрическая или тригональ-ная а=Ь=с а=р = фИ? простая С3 С3; с3"
D3 Dsd 3 3 3m 222 3m 3 3 3, m 3, 2 3, т, 2
Квадратичная или тетрагональная а-Ьфс а = (3 = =Ло° ( простая, 1 •J
объемноцен- > Утрированная J s4 С4 Cih E*2d civ D, Dih 4 4 4/m 42m 4 mm
422 4/m 2jm 2/m 4 4 4, т, I 4, 2, m 4, т 4, 2 4, 2, т, I
ce 6 6
Гексагональ- ная а-Ьфс а = 120° = 90° простая Qft D3h Civ De Deh
6 6/m 62 m 6 mm 622 6/m 2/m 2/m 6 6, т, I 6, 2, т 6, т 6, 2 6, 2,
m, I
14 СИММЕТРИЯ и СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. 1
Продолжение табл. 1
Название сннгонии Основной паралле- лепипед Тип решетки Символ ТО*
кри по Шен-флнсу ечнон группы сталла междуна- родный Элементы
симметрии точечной группы, кроме тождественных
Кубическая Приме симметрии п-чается повор ранственных ветствует отр
буквой т, та а = Ь-с а = р - =Л(Г ч а и и е. го порядк от на угс
координат ажению в ким образ ( простая, объемноцен-I трирован-| ная,
гране-центриро-[ ванная Символом Сп или г а, т. е. поворот л 360/л с
послед . Сг = Е - тождес плоскости, перш ом, т = 2. Т Th Та О oh
росто п об на угол 3( ующей vi ггвенный э ндикуляр! 23 m3 43 m 43 m3m
означается по 30/л. Символе версией всех лемент. Опер 10Й оси. Она Э, 2
3, 2, m, 1 4, 3, m 3, 2, 4 3,4,2,m, I воротная ось м л обозна-трех
прост-ация 2 соот-обозначается
Триклинной, тригональной и гексагональной сингониям соответствует по
одной простой решетке Браве; моноклинной - две; ортогональной - четыре;
квадратной - две и кубической- три.
Симметрия примитивной ячейки часто не полностью отражает симметрию
решетки Браве. Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 2, на
котором изображены двумерные решетки: гексагональная и квадратная. Для
квадратной решетки можно выбрать примитивную ячейку, отражающую симметрию
