Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
ядер атомов), то возможно только приближенное квантовомеханическое
описание таких систем. Основным приближением, используемым в теории
твердого тела, является адиабатическое. Оно базируется на малости массы
электрона т по сравнению с массами М ядер атомов. Отношение т/М ~ 10~3,
поэтому в операторе энергии кристалла оператор кинетической энергии ядер
является малым возмущением. В нулевом приближении можно считать, что
электроны движутся в поле неподвиж--ных ядер, занимающих определенные
положения в пространстве.
Обозначим буквой R некоторое пространственное расположение ядер, тогда в
нулевом адиабатическом приближении энергия электронов U,v будет функцией
R. Буквой v мы обозначили совокупность квантовых чисел, определяющих
состояние движения электронов при фиксированном R. Пусть v0 соответствует
нижайшей электронной энергии, тогда UVs> (R) определяет оператор
потенциальной энергии для движения ядер в основном электронном состоянии.
Пространственное расположение R0, соответствующее минимуму UVo(R),
характеризует равновесные положения ядер, относительно которых происходят
их колебания. В области R0 функция UVa (R)
10
СИММЕТРИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
изображается символическим рядом
При переходе электронов в возбужденное состояние vx равновесные положения
ядер смещаются, так как функция t/v, (R\, вообще говоря, имеет минимум
при R1 Ф R0. При этом в области новых равновесных положений эта функция
изображается рядом
определяющих частоты колебаний ядер относительно равновесных положений,
характеризуют связь электронных возбуждений с колебаниями ядер в нулевом
адиабатическом приближении.
В более высоких приближениях адиабатической теории учитывается связь
электронных возбуждений с колебаниями ядер, обусловленная оператором
кинетической энергии ядер. Эта связь приводит к процессам полного или
частичного перехода энергии электронного возбуждения в энергию колебаний
ядер, или к обратным процессам - теплового возбуждения электронных
состояний. Такие процессы называются неадиабатическими.
Адиабатическое приближение оправдывается, когда вероятность
неадиабатических процессов мала. Это условие обычно выполняется при
низких температурах и при исследовании первых электронных невырожденных
возбужденных состояний.
Вначале мы будем рассматривать только конфигурацию равновесных положений
ядер в кристалле без электронного возбуждения. В некоторых кристаллах
часть (или все) электронов жестко связана с ядрами. В этом случае в
основном электронном состояний можно говорить о равновесной конфигурации
соответствующих ионов (или атомов). В молекулярных кристаллах структурной
единицей является молекула. Движение ядер атомов в молекуле можно
рассматривать как внутреннее возбуждение.
Работами Лауэ (1912 г.) и Брегга (1913 г.) было твердо установлено, что
каждый монокристалл образован путем периодического повторения в
пространстве одинаковых групп атомов, ибнов и электронов, или молекул.
1 Г<WV (ЯП
tfv, (R) = Vy, (Ri) + i [-^ , (R - Ri)2 +
(1.2)
Изменения равновесных положений
A R = Ri - Ro и коэффициентов упругости
(1.3)
(1.4)
§ 2. Пространственная решетка кристаллов
§ 2]
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА КРИСТАЛЛОВ
и
При теоретическом изучении объемных свойств кристаллов исследуют
монокристаллы бесконечных размеров, чтобы исключить влияние поверхности.
Наиболее важным свойством таких монокристаллов является их периодическая
структура или трансляционная симметрия.
Наименьшая часть кристалла, пространственным повторением которой
образуется весь кристалл, называется элементарной ячейкой. Элементарная
ячейка электрически нейтральна. Она может содержать одну или несколько
молекул, атомов или ионов.
Вследствие трансляционной симметрии каждой точке одной элементарной
ячейки можно сопоставить эквивалентную точку
Рис. 1. Иллюстрация неоднозначности выбора векторов' основных трансляций.
другой элементарной ячейки. Положения таких эквивалентных точек в
кристалле характеризуются векторами решетки
з
n=^atni (2.1)
i=i "
(",• - целые числа, равные 0, ±1, ±2, ...), являющимися линейными
комбинациями трех некомпланарных векторов а^, а2, й3, называемых
векторами основных трансляций. Совокупность всех векторов решетки
образует пространственную решетку или решетку Браве. Концы векторов
решетки определяют положение узловых точек в решетке. Параллелепипед,
построенный на векторах ах, а2, я3, называют примитивной ячейкой
кристалла.
Одной и той же пространственной решетке можно сопоставить разные векторы
основных трансляций. Рис. 1 иллюстрирует на примере двумерной решетки
несколько возможных способов выбора векторов основных трансляций. Эта
неоднозначность несущественна, если только выполняется условие, что с
помощью выбранных основных векторов можно определить положение всех узлов
пространственной решетки.
12
СИММЕТРИЯ и СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
Выбор элементарной ячейки в кристалле также неоднозначен. В простейшем
