Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
где /0 (k) - функция равновесного распределения.
Для электронов проводимости в металлах при низких температурах это
функция распределения Ферми-Дирака (25:1)
(32.5)
ТСОд < 1,
я
^grad*/(*) = -f [/(*)-/"(*)]. k
(32.6)
(32.7)
где iF- энергия Ферми; 0 - температура в энергетических единицах.
194 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. VI
Для электронов проводимости и дырок в полупроводниках (§ 25)
/о (ft) = Ne ё~ (с) di j exp (- (32.8)
где - плотность числа электронов (дырок) в зоне проводимости^ (валентной
зоне); ((ft) -энергия электронов (дырок), отсчитываемая от
дна (потолка) зоны проводимости (валентной зоны).
Если функция распределения f (ft) известна, то плотность тока в кристалле
определяется выражением
~ik\Vkh{k)d?k' <32-9)
где Vk - скорость электрона, множитель 2 учитывает два возможных спиновых
состояния; /2 = / - /0. При написании (32.9) учтено, что J Vkfo (ft) d3k
- 0. Если учесть равенство
\ grad* /о = 1 grad*"(ft) = г;*
то уравнение (32.6) преобразуется к виду
f4-<5ffe-) = vf-+Tfera<W,. (32.10)
Нас интересует только линейный отклик кристалла на слабое внешнее
электрическое поле, поэтому в силе F правой части уравнения (32.10)
следует оставить только магнитное поле. Учитывая далее тождество [Vk B]Vk
= 0, получим линеаризованное по внешнему электрическому полю
уравнение Больцмана
= (32.11)
Вычислим вначале тензор проводимости кристалла без магнитного поля. При В
= 0 из (32.11) следует
fl{k)=-exk(Evk)[-^$). (32.12)
Подставив (32.12) в (32.9), находим плотность тока
* = М(32'13)
Сравнивая это выражение с законом Ома
з
= ^ OijEj, или J=oE, (32.14)
/=i
получаем общее выражение для тензора проводимости кристалла
ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
195
при отсутствии магнитного ПОЛЯ
а=?> § X (-alfer) d3k' (32Л5)
где (охо) - симметричный тензор, образованный диадным произведением двух
векторов и, следовательно, имеющий компоненты
(vxv)xy = vxvy, ...
В металлах при низких температурах ~^щ] = б (( Ф) - <f).
Поэтому, переходя в (32.15) к интегрированию по изоэнергети-ческим-
поверхностям и энергии, получим
""'=4^.§!ТЙГТ*'И- <32-16)
Интегрирование в (32.16) проводится по поверхности Ферми, поэтому тензор
проводимости металла зависит только от свойств электронов на поверхности
Ферми. Высокая проводимость металла обусловлена большой подвижностью
электронов. В изотропном
Х'Р ) 1
металле ^= 3*1(r)^^; поэтому тензор (32.16) вырождается I k I
в скаляр
СГ met 1(r)*1 т* ds- (32.16а)
В полупроводниках функция равновесного распределения определяется
выражением (32.8), учитывая, что (- ^jf) --jf , с помощью (32.12) и
(32.9) получим тензор проводимости полупроводника л-типа
Если выразить тензор проводимости через тензор подвижности ие носителей
тока и их плотность Ne с помощью выражения
osc = eNeue,
то тензор подвижности будет определяться формулой
( со W1 со
= j | р (") Л> Je-('(r)((r)x(r))t(f)p(f)d(. (32.18)
lo Jo
til * V^
В изотропном полупроводнике * = -^- и тензор подвижности обращается в
скаляр
2с
Ue ~ 3т*в
СО I- J.
J е~*/е Р (О Л J J "г"'ет (О Р (") Л. (32.18а)
196
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. VI
В изотропном кристалле р (() ~ ]А, поэтому если положить т (() = т, то,
вычисляя (32.18а), получим
e^Nех т* /00 . олч
= <32-18б> При наличии магнитного поля напряженности В решение уравнения
(32.11) можно искать в виде
h = -ex (vkA){-d^), (32.19)
где Vk - hklm*, А - подлежащий определению вектор. Учитывая равенство
= (32.20)
из уравнения (32.11) находим уравнение
Е=А-Ц^[ВА], (32.21)
из которого следует
А = у(е+-^[ВЩ), (32.22)
где
У= (1 +соЪт2)-1. (32.22а)
Сравнивая (32.19) с (32.12), можно убедиться, что при наличии магнитного
поля закон Ома (32.14) заменяется выражением
J=oA, (32.23)
где а -тензор проводимости кристалла без магнитного поля (32.15), вектор
А определен выражением (32.22). Чтобы найти тензор проводимости о (В)
кристалла, находящегося в магнитном поле, надо преобразовать (32.23) к
виду
J=o(B)E.. (32.24)
Обращая равенство (32.23)
A = pJ,
где р= 1/а -тензор удельного сопротивления кристалла без магнитного поля
и, подставляя А в (32.21), находим электрическое поле Е, возникающее в
кристалле при наличии магнитного поля
E = (32.25)
Второе слагаемое в (32.25) определяет перпендикулярное к плотности тока
электрическое поле, которое называют полем Холла. Оно меняет знак при
изменении знака магнитного поля.
§ 32]
ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
197
Джоулево тепло, выделяемое в кристалле при прохождении тока Q = JE
согласно (32.25), зависит только от тензора сопротивления кристалла без
магнитного поля. В изотропном кристалле удельное сопротивление р является
скаляром, поэтому поле Холла
ЕHall == R [BJ\,
где
R
етр
(32.26)
(32.27)
- коэффициент Холла. Подставив в (32.27) значение удельного
сопротивления полупроводников (32.186), получим следующее выражение для
коэффициента Холла полупроводника, в котором проводимость обусловлена Ne
