Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
С16 (*-*/) , ч п
¦ |5ф|-- где - К0РНИ уравнения ф (х) = 0.
1 |длф = -<7
178 движение электрона при наличии МАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. VI Учитывая, что
v0^>l, можно заменить в (30.5) сумму интегралом
Vo-1
V _ 1 "а Г - = 2 V^+f.
y^v0 -v + 5 J Vvo - v + l.
v = 0
Затем, подставив это значение в (30.5) и используя равенство
(30.4), находим окончательное выражение для квантовой плотности
электронов с энергией (
N
где
(е) = N0 (") Tl + -==L=== 1 (30.6)
0WL 2/ve(?(0- 1/2)J*
?(<)=----------v0, (30.6a)
nm
N0 mf (2" - tUoB) ^^y2m.fi. (30.66)
Из выражения (30.6) следует, что относительное отклонение
от плавного изменения плотности электронов при изменении магнитного поля
В или энергии ( определяется величиной
(30.7)
Таким образом, относительное отклонение плотности электронов
скачкообразно изменяется от очень малых значений [2 Уvo^cob]"1 ^ я" 0 при
(Ф (v0 + 1 /2) /гсов до бесконечных значений, когда
выполняется равенство
(v"+1/2)й(ов = ". (30.8)
Период таких "осцилляций" при изменении магнитного поля А В определяется
из условия
(v0+ 1/2) coB = (v0- 1/2) сов + дв, из которого при учете (30.2а) следует
AS=v0+i/2 (30-9)
Обращение в бесконечность амплитуды осцилляций плотности электронов,
определяемое выражением (30.7) при условии (30.8), обусловлено неучетом
теплового движения и конечной длины пробега электронов в кристалле. При
учете конечной температуры кристалла и времени свободного пробега т
функция ?(<)- 1/2, входящая в (30.7), заменяется выражением, минимальное
значение которого при условии (30.8) равно не нулю, а
(kT + Й/т)/Й(ов.
§ 30] ЭФФЕКТ ДЕ ГААЗА-ВАН АЛЬВЕНА 179
В связи с этим максимальное значение амплитуд квантовых осцилляций
плотности электронов принимает значение
1 f
^-1/ ----------------^ •--7-'..'. (30.10)
max 2 у v0 (k7 + fi/т) 2 у t(kT+fi/т)
Рассмотрим, как изменяется энергия при переходе напряженности магнитного
поля В через критические значения. Пусть энергия уровня v0(^>l) совпадает
с энергией Ферми в поле В0. Согласно (29.13) в единице объема кристалла
число заполненных электронами состояний, приходящихся на интервал
значений Ske, при kz = 0 определяется выражением
п0 = К+1)рЯо6А*. (30.11)
Через га0 можно выразить и энергию таких электронов. В самом деле,
Vo
I(fi0) = ft 2 (v+l/2)'a>Bopflo6A* = 4nS, (30.12)
v=o
где
A = efi/(2pm*c8kz). (30.12а)
Если при увеличении напряженности магнитного поля В оно проходит через
значение В0, то электроны с квантовым числом v0 скачком переходят в
другие состояния на поверхность Ферми с 1ггФ 0. Поэтому со значением kz =
0 останутся занятыми только состояния vsgv0-1. Их число в слое bkz равно
n = v0pB8kz. (30.13)
Эти электроны имеют энергию Ап2. га -га0 электронов, ушедших с уровня v0,
имеют энергию Ферми ip. Следовательно, энергия электронов в единице
объема кристалла в слое dkz в магнитном поле В равна
< (В) = Ап2 + (га - п0) ip.
Используя неравенство v0^>l, можно выразить энергию Ферми через А и га0.
В самом деле,
ip= ha>в0 (vo-f-1/2) ^ ha>?0 (v0-f-1) = 2Л Последовательно,
((В) = А [га2 - 2 (га - ra0) га0].
Итак, при изменении магнитного поля ДВ = В - В0 энергия электронов в слое
bkz при значении kz = 0 изменяется на величину
((В) - ((В0) = eh (га - n0)2/(2pm*c8kz). (30.14)
N0 (")
180 движение ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ (гл. VI
Согласно (30.11) и (30.13) при возрастании магнитного поля от значения В0
к значению В изменение числа занятых электронами состояний в слое 8kz
определяется равенством
п - щ - р [v05 - (v0 +1) 50] bkz, В > В0.
Следовательно, разность п - п0 изменяется "пилообразно" (рис. 36). Равная
нулю при точном равенстве В = В0, она скачком изменяется до значения -
pB0bkz при очень малом превышении В над В0. Затем линейно возрастает с
полем до нулевого значения при приближении В к Б0 (1-f l/v0), а затем
снова обрывается до отрицательных значений при малом превышении В над
?0(l-f l/v0), так как при этом освободятся уровни v0 - 1 и останутся
заполненными уровни с квантовыми числами, меньшими или равными v0 - 2.
Поскольку энергия (30.14) зависит от напряженности магнитного поля, то
можно определить намагниченность единицы объема кристалла ЬМ,
обусловленную слоем bkz при kz = 0, используя соотношение
'О 'о
Рис. 36, Изменение числа заполненных квантовых состояний в слое kz = 0
толщины bkz.
ьм (kz=o)
дЕ (kz = Q) дВ
F
Тогда, учитывая равенство v0 = ^- = ctn*(f/(ehB) и (30.13),
получаем
ЬМ (kz = 0) = - (п - п0) tp/B.
Вклад в намагниченность от других слоев с можно
записать в виде
ЬМ (kz) = - tp(n - n0)/B, (30.15)
где
{(kz) = ff - h2kl/2m*. -
Поскольку при изменении напряженности магнитного поля разность п - п0
изменяется пилообразно с периодом AB^B0/v0 и амплитудой pBbkz, то ЬМ (kz)
является также периодической функцией 1 /В с периодом eh/(m*ct(kz)) и
амплитудой et (kz)dkz/(4n2fic). Таким образом, выражение (30.15) можно
представить в виде
ЬМ (k) = - ef ^ 6кг (c)
от { 8лЗДс (tm).
ЭФФЕКТ ДН ГААЗА-ВАН АЛЬБИНА
181
