Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
сечения.
Обычно частота ш используемых радиоволн имеет фиксированное значение, а
напряженность магнитного поля В меняется. Резонанс наступает при условии
(28.1)
с|твj ' v
где т% - циклотронная масса, соответствующая максимуму (или минимуму)
функции m%{kz)\ п - целое число, принимающее значения 1, 2, ... В связи с
этим при циклотронном резонансе, в металлах наблюдается в поглощении
радиоволны несколько пиков (относящихся к разным п), а не один, как при
обычном резонансе.
Циклотронный резонанс наблюдается только в том случае, когда диаметр
орбиты электронов меньше толщг-" пластинки. Если это условие нарушается,
то электроны, отр;?-;аясь от по: верхностей кристалла, выпадают из
синхронного процесса. При уменьшении напряженности магнитного поля
диаметрорбиты электрона возрастает и, когда он сделается равным толщине
пластинки, резонанс исчезает. Определив магнитное поде, при кото-
КВАНТОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА
173
ром исчезает резонанс, можно вычислить размеры соответствующего сечения
поверхности Ферми. Проведя такие измерения для монокристаллических
пластинок, различным образом ориентированных относительно
кристаллографических осей, можно получить информацию о всей поверхности
Ферми.
Размерный эффект при циклотронном резонансе был предсказан Канером [64].
Первое экспериментальное обнаружение этого эффекта было сделано Хайкиным
[65] на пластинках олова.
При описании циклотронного резонанса мы исходили из классических
представлений. Квантование движения электрона в кристалле, находящемся во
внешнем магнитном поле, приводит к возможности появления резонанса на
дискретном множестве частот Q" при выполнении условия сот>(/У/гсо, где
co^Q", т - время свободного пробега электрона. Теория этого явления,
названного квантовым циклотронным резонансом, была развита Лифшицем[66].
§ 29. Квантование движения электрона в зоне проводимости при наличии
магнитного поля
В § 26 было показано, что энергия свободного движения электрона в
плоскости, перпендикулярной магнитному полю, квантуется подобно энергии
гармонического осциллятора с ларморов-ской частотой сов = еВ/тс. При
некоторых условиях такое квантование должно наблюдаться и для электронов
проводимости, имеющих энергию, близкую к энергии Ферми, в кристалле,
находящемся в сильном однородном постоянном магнитном поле.
Для проявления квантового характера движения электронов в кристаллах
необходимо, чтобы траектории,, образованные пересечением поверхности
Ферми плоскостью, перпендикулярной полю, были замкнутыми, время обращения
электронов п т
'г г -, г рис gg Траектория движения
по этим траекториям было значи- электрона в й-пространстве. тельно больше
времени релаксации
и, наконец, дискретность квантовых уровней должна превышать энергию
срр'т,его теплового движения. Последние два условия выполняютс, Lj'очень
чистых монокристаллах при низких температурах в сильных магнитных полях
(см. ниже).
Определим энергию и волновые функции квантового движения электрона в
простейшем случае, когда поверхность Ферми является эллипсоидом вращения,
определенным поперечной т* и
174 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 1ГЛ. VI
продольной т* эффективными массами, а магнитное поле направлено вдоль оси
симметрии эллипсоида, совпадающей с осью z координатной системы (рис.
35). Тогда поле можно описать векторным потенциалом Л, имеющим-только
одну, отличную от нуля, компоненту Ау = хВ. Гамильтониан электрона
проводимости в этом поле имеет вид
1 /¦", . /л . е
н=щ[р*Чру+тхВ) + 5йу- • (29Л>
р\
2 mf
Для движения, перпендикулярного полю, циклотронная частота согласно
(27.16) определяется массой mt,
<29Ла>
С помощью (29.1) и (29.1а) находим гайзенберговские уравнения для
операторов
x=px/tnf, z-pjm*, у = (ру-\- т*щх)/т*, (29.2)
Ру=Рг==(r)> рх = - (ру + т?(йвх)сйв. (29.3)
Из (29.3) следует, что проекции импульсов ру и pz являются интегралами
движения, поэтому в стационарных состояниях
Py = flky, pz = flkz. (29.4)
Дифференцируя по времени уравнение (29.2) и учитывая (29.3) и (29.4),
получим
х-\-а>Ь(х - хку) = 0, (29.5)
где
Xky = - tlkylm*(x)B. (29.6)
Уравнение (29.5) совпадает с уравнением гармонического осциллятора,
совершающего колебания около равновесного положения (29.6),
зависящего от проекции волнового вектора ky.
Следовательно, энергия движения электрона в плоскости kx, ky определяется
циклической частотой сов и квантовым числом v, пробегающим целочисленные
значения
?v = 7toB(v+1/2), v = 0, 1, ... (29.7)
Формула (29.7) напоминает эквидистантные уровни (26.18) свободного
электрону в постоянном магнитном поле только по форме. В связи с тем, что
циклическая частота сов электрона проводимости в общем случае
зависит от ( и ks, уровни
энергии (29.7) не являются эквидистантными.
Движение вдоль открытых траекторий не квантуется в квази-классическом
приближении. Зильберман [67] показал, что при более
КВАНТОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА
175
строгом рассмотрении в случае, когда траектория движения электрона в ft-
