Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
величину поля В через циклотронную частоту сов с помощью (26.3), то
гамильтониан, определяющий движение электрона в плоскости ху, согласно
(26.4) и (26.5) примет вид
1 UPx - \ + (by + тг (26.6)
Н 1-0
L 2ц
Следуя Джонсону и Липпману [60], введем оператор
" = 2^ [р* ~ 1Ру ~ (Х ~ ^)] (26'7>
и эрмитово сопряженный к нему оператор я+. Они удовлетво-
ряют перестановочному соотношению
[я, я+]=1- (26-8)
С помощью (26.7) оператор (26.6) преобразуется к
оператору
энергии простого гармонического осциллятора
HL (я+я+ 1/2) (26.9)
с собственными значениями
Е L =Йсод (v + 1/2), (26.10)
зависящими от квантового числа v = 0, 1, 2, ...
С гамильтонианом (26.6) коммутирует оператор проекции углового момента
электрона на ось z:
Lz = xpy - урх, (26.11)
имеющий собственные значения Лт, где т = 0, ±1, ... - магнитное квантовое
число.
Стационарные состояния движения электрона в плоскости, перпендикулярной
полю, характеризуются волновыми функциями | v, т), зависящими от двух
квантовых чисел v и т и являющимися собственными функциями операторов
(26.9) и (26.11)
[fiL - Йсод+ у)j | v, т) = 0, (Lz-Hm)\v, m> = 0.
Из перестановочных соотношений
[НL, п] = - П(?>вл, [НL, я+] =/гсовя+,
Г А Л -| А ГА А -1 Л IfcJ
[Lz, я] = -Нл \Ьг, л+] = /гл+
§ 26] СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И ЗНАЧЕНИЯ ЧАСТИЦ В ПОЛЕ 163
следует, что действие операторов л+, я на функции | v, m) сводится к
одновременному изменению обоих квантовых чисел
я+lv, m>=yv+l'|v+l, т+ 1>, (26 13)
n]v, m) = Vv 1 v - 1, т - 1).
Введем операторы, действующие только на магнитные квантовые числа функций
| v, т), по правилам
-&+|v, m) = Vv-m | v, т+ 1>, 2fi ^
iL|v, m)=Vv-m-\-1 [v, m- 1).
Из (26.14) следует, что при фиксированном v квантовое число т может
принимать только значения v, v - 1, ..., -1, -2,... Они удовлетворяют
перестановочным соотношениям
[#+> iL]=i.
Таким образом, операторы Л?_л+ и ?+л увеличивают и уменьшают на единицу
только квантовое число v согласно равенствам
<5?_n+|v, т) =у (v+ 1) (v-m) |v + 1, т),
* л ____________ (2о.1о)
3?+n\v, m)-V v (v - т + 1) | v - 1, т).
С помощью операторов я+ и можно получить волновые функции всех
стационарных состояний |v, т) из вакуумного состояния 10, 0). В самом
деле
IV, m) = -r=L= 10, 0>. (26.16)
у vl (v- т)\
Энергия (26.10) определена без учета спина электрона. Если пренебречь
слабым спин-орбитальным взаимодействием, то достаточно учесть
взаимодействие электрона только с внешним магнитным полем. Оператор
энергии взаимодействия спина электрона с магнитным полем определяется
выражением
(26-17)
где <т;=^ - спиновая матрица Паули. Собственные значения
(26.17), соответствующие двум возможным спиновым состояниям
электрона, равны Таким образом, каждый уровень (26.10)
расщепляется на два и энергия электрона определяется формулой Ландау
Ev. s2 (кж) = (v + ¦-) haB +eJLSzB + ^, (26.18)
где s2= 1/2, -1/2. Третье слагаемое в (26.18) определяет часть энергии,
связанную с движением электрона вдоль поля.
164 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. VI
§ 27. Эффективная циклотронная масса электрона проводимости
Квантовое описание движения электрона в зоне проводимости необходимо при
исследовании взаимодействия кристалла с коротковолновым электромагнитным
полем. Если же внешнее магнитное поле плавно меняется в пространстве и
времени, или постоянно и однородно в кристалле, а его величина мала по
сравнению с внутри- и межатомными полями (108 - 109 э).и размеры
траектории электронов значительно превышают межатомные расстояния, то для
описания их движения во многих случаях достаточно использовать
квазиклассическое описание. В этом случае электрон в кристалле
рассматривается как квазичастица, характеризующаяся определенным законом
дисперсии Е (k).
Рассмотрим движение электрона в кристалле, находящемся в постоянном
внешнем однородном магнитном поле напряженности В~rot Л. Если т* * (v=l,
2, 3) -три главных значения тензора обратной эффективной массы электрона,
то гамильтониан электрона в кристалле имеет вид
Операторные уравнения (27.2), (27.3) совпадают по форме с уравнениями для
соответствующих средних величин. Таким образом, в кристалле так же, как и
в свободном пространстве,
и не меняет его энергии.
В каждой энергетической зоне а скорость электрона в стационарных
состояниях определяется согласно (19.13) законом дисперсии Ea(k) с
помощью формулы
3
(27.1)
А д
где е>0, pv = -• С помощью (27.1) находим
уравнения
V
Гайзенберга для операторов
(27.2)
(27.3)
сила Лоренца F = ~[vB\ перпендикулярна скорости электрона и
v = -jrgradkEa (k).
(27.4)
Следовательно, скорость электрона в ^-пространстве всегда нормальна к
изоэнергетической поверхности. Поскольку согласно
(27.3) изменение квазиимпульса p = hk перпендикулярно напря-
ЭФФЕКТИВНАЯ ЦИКЛОТРОННАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА
165
женности магнитного поля В и скорости V, то траектория перемещения конца
вектора к в Л-пространстве перпендикулярна магнитному полю В и лежит на
изоэнергетической поверхности Е (к) = const.
