Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение, определяющее химический потенциал
Ne = Nh=VVgegh
(~щ)- <25-'9>
Ne - N h + nd.
(25.20)
nd^Nd-NT = NT[\ +ехр.-*Цр?]*\ (25.21)
= Ллехр(
0
¦J + W'fl+exp-i^-]'1. (25.22)
Если температура кристалла недостаточна для переброса электронов из
валентной зоны в зону проводимости, т. е. если
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
159
выполняется неравенство
ехр(-1г)<1. то равенство (25.22) заменяется более простым уравнением Ае
ехр = NT (exp ^ - + 1
0 "а у"1' 0
квадратичным относительно ехр (ц/0). Решая его, находим
, = _fd + 0,ni(j/-х). (25.23)
В области низких температур, когда второе слагаемое под корнем
значительно больше единицы, имеем
* г n 1 1 /~N'1' /2яй"\з/2 ,0_ _
^ = -2-^ + 0 In у ехр (25.24)
Следовательно, при 0 = 0 уровень химического потенциала проходит
посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. При
возрастании температуры уровень химического потенциала вначале немного
поднимается, а затем с ростом 0 значение корня становится меньше единицы
и уровень химического потенциала опускается. Когда температура 0
возрастает настолько, что выполняется неравенство
NT /2яЙз\3/2
W\*°I -V-!]- <25-25>
можно разложить в (25.23) квадратный корень в ряд и получить в первом
приближении
nVd' /2яй2\з/2] '
^01nL^(<0) J- (25-26)
Взяв логарифм от обеих частей неравенства (25.25) и учитывая
(25.26), мы убедимся, что при выполнении неравенства (25.25) выполняется
неравенство
|х< - id, (25.27)
которое указывает, что в этих условиях уровень химического потенциала
опускается ниже донорных уровней и все донорные атомы ионизованы.
При дальнейшем повышении температуры все большую роль начинают играть
переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости, и для
определения ц надо пользоваться уравнением (25.22). Если число
перебросов электронов из валентной
зоны в зону проводимости значительно превысит число примес-
ных уровней, то роль последних становится малосущественной и
160
ОДНО ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ в КРИСТАЛЛЕ
[ГЛ. V
химический потенциал станет приближаться к значению, которое он имел бы в
чистом полупроводнике, т. е. к значению (25.18). Качественное изменение
уровня химического потенциала при повышении температуры полупроводниками
л-типа указано на рис. 32.
Аналогичным образом можно исследовать положение уровня химического
потенциала в полупроводнике p-типа. В полупроводнике, содержащем N'a
акцепторных уровней в положении -(g -)-4- т. е. па расстоянии от потолка
валентной зоны,
в области низких температур, когда проводимость обусловлена только
образованием дырок в валентной зоне
I * I Ai 1 / N'a /2я/;2\3/2 f*r + -2-fe+ 01п|/ . (2о.28)
Следовательно, при 0 = 0 уровень химического потенциала проходит
посередине между акцепторными уровнями и потолком валентной зоны/ При
повышении температуры роль переходов электронов из валентной зоны в зону
проврдимости возрастает, а переходы электронов на акцепторные уровни
делаются все менее существенными, так как последние почти заполнены.
Наконец, при температурах, соответствующих полному заполнению акцепторных
уровней
_____________________электронами, единственным меха-
0 0 низмом увеличения проводимости
Рис. 32. Зависимость от темпера- ПРИ увеличении температуры бу-
туры уровня химического потен- дет переход электронов из валент-
циала в полупроводнике я-типа. НоЙ зоны в зону проводимости. В
этих условиях химический потенциал (25.28) совпадает с химическим
потенциалом (25.18) чистого полупроводника.
ГЛАВА VI
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 26, Собственные векторы и собственные значения заряженных частиц в
магнитном поле
На электрон, движущийся в свободном пространстве со скоростью v в
магнитном поле с напряженностью В, действует сила Лоренца
F = -^[vB], (26.1)
где е - единичный положительный электрический заряд; с -скорость света.
Сила F перпендикулярна скорости электрона и, следовательно, не меняет его
энергию. Электрон движется по спирали с постоянной составляющей скорости
(c)ц вдоль поля. Проекция его траектории на плоскость, перпендикулярную
полю, является окружностью с ларморовским радиусом
цу . с
(26-2)
где [д, -масса электрона.
Период обращения электрона вокруг поля T = 2nR/vL=^
- 2л[хс/е | В | и круговая частота
г, е | В |
называется ларморовской или циклотронной частотой.
Квантовая теория движения электрона в магнитном поле впервые была развита
Ландау [59]. Если магнитное поле В описывается векторным потенциалом,
i?=rot,4, и направлено вдоль оси г, то векторный потенциал можно записать
в виде
А = (-~уВ, ±хВ, О), В = \В\. (26.4)
Гамильтониан электрона в магнитном поле выражается через оператор
импульса р электрона и векторный потенциал А
162 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. VI
с помощью формулы
H==k[* + ^А)2' е>0' (26-5)
Поскольку движение электрона вдоль поля остается свободным (не
квантуется), то достаточно рассмотреть двумерную задачу о движении
электрона в плоскости ху, перпендикулярной полю. Если выразить абсолютную
