Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
состоянии диэлектрика зона проводимости пуста, а валентная зона полностью
заполнена. Возбужденные состояния образуются при переходе электрона из
валентной зоны в зону проводимости. -
В дырочном представлении (см. § 21.1) основное состояние диэлектрика
является "вакуумом" (без частиц) и все физические величины отсчитываются
от этого основного состояния. Электрон имеет отрицательный электрический
заряд и отрицательную эффективную массу у потолка валентной зоны (24.5).
Дырке надо сопоставить положительный электрический заряд и положительную
эффективную массу т% - - т% = т* = 6fl2ja?L. Энергию дырки "л отсчитывают
от потолка зоны
<h(q) = L~<(q) = h2q2/2mt (24.7)
"Всплывание" дырки к потолку валентной зоны соответствует уменьшению q и
энергии. "Погружение" дырки соответствует увеличению ее энергии;
§ 25. Статистика электронов в твердых телах
Нижайшей энергии системы N электронов зоны проводимости соответствует
состояние Ф0, в котором заполнены все состояния с энергией, меньшей или
равной энергии Ферми отсчитываемой от дна зоны, и свободны все состояния
с большей энергией. Такое состояние системы электронов называют полностью
вырожденным. Если система N электронов находится в тепловом равновесии
при температуре 0 (в энергетических единицах), то распределение
электронов в зоне проводимости по энергетическим состояниям
характеризуется функцией распределения Ферми
/(<(*)) = (l+exp^=H-)'\ (25.1)
которая определяет среднее число электронов в одном состоянии k с
энергией f(ft), отсчитываемой от дна зоны. В выражении (25.1) входит
величина jx, имеющая размерность энергии. Она называется химическим
потенциалом, отсчитывается также от дна зоны и определяется из условия
нормировки распределения (25.1) на полное число электронов
Д/е = 2(1+ехр^Ь±_)Л (25.2)
k
В пределе 0->О (полное вырождение) функция (25.1) равняется единице для
всех f (k) < ц. и равна нулю при *(/г)>|д. Отсюда следует, что химический
потенциал электронного газа
154
ОДНОЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛЕ
[гл. v
при абсолютном нуле температур совпадает с энергией Ферми. При
температуре, отличной от нуля, выражение (25.2) определяет химический
потенциал как неявную функцию числа электронов Ме и температуры 0. Для
явного вычисления химического потенциала надо в (25.2) от суммы перейти к
интегралу
где р (<) - плотность состояний в энергетической шкале (§24). В
приближении изотропной эффективной массы выражение р(<) определяется
(24.2), поэтому
Энергия Ферми тем больше, Чем больше плотность электронов и меньше их
эффективная масса. В металлах энергия Ферми электронов проводимости ^3 -
5 эв. Эта энергия настолько больше средней тепловой энергии при комнатных
(0я^О,ОЗзв) и более низких температурах, что функция распределения (25.1)
практически не зависит от температуры Такие состояния
системы электронов называются вырожденными. Температуру (c)o = <f называют
температурой вырождения.
В полупроводниках истинная энергия Ферми как максимальная энергия,
которую занимают электроны при абсолютном нуле, совпадает с энергией
потолка валентной зоны. Зона проводимости при абсолютном нуле не содержит
электронов. При комнатной температуре плотность электронов в зоне
проводимости обычно равна 10й - 1015 см~3. Если бы это число электронов
не менялось при понижении температуры, то ему соответствовала бы энергия
Ферми, отсчитываемая от дна зоны проводимости, 10"10- 10~7 эв и
температура вырождения 10~в- 10'4°К. Следовательно, при
00
Ne=\f (")р(")Л,
(25.3)
О
(25.4)
где
00
(25.5)
При полном вырождении ((c)->-0)
п /я
О
следовательно,
или
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
155
комнатной температуре электроны в зоне проводимости полупроводника далеки
от вырождения.
В полуметаллах и сильно легированных полупроводниках плотность электронов
меняется в зависимости от содержания примеси от 1018 до 1021 смгъ. При
NJV"=> 1019 см~3 энергия Ферми ^0,03 эв - сравнима со средней тепловой
энергией при комнатной температуре. В этом случае состояние системы
электронов занимает промежуточное положение между вырождением и
отсутствием вырождения. При 0<lOef из (25.4) получаем приближенное
выражение
".~дап"+1(r)*+4
из которого при учете (25.6) следует связь между химическим потенциалом и
энергией Ферми
<25J>
25.1. Химический потенциал в полуметаллах и полупроводниках и его
зависимость .от температуры. В металлах электронный газ вырожден уже при
комнатных температурах. При наличии вырождения, т. е. при 0<;ef,
химический потенциал согласно (25.6) практически совпадает с энергией
Ферми и, следовательно, не зависит от 0. В полуметаллах и полупроводниках
при комнатной температуре вырождение нарушается и зависимость химического
потенциала от температуры становится существенной. При отсутствии
вырождения многие состояния с энергией, превышающей энергию Ферми,
частично заполнены. Другими словами, при отсутствии вырождения для
состояний с <^>ц выполняется неравенство
