Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
вектор Q; е -диэлектрическая проницаемость кристалла, обусловленная
возбужденными состояниями, не участвующими в исследуемом взаимном
превращении фотонов и фононов.
Частота co<j обычно соответствует области прозрачности кристалла.
Операторы а?р и а<?р являются операторами рождения и уничтожения фотонов
в кристалле, т. е. поляритонов (по отношению к электронным возбуждениям
ионов) частоты <в<? с волновым вектором Q. Далее в этом параграфе мы
будем называть такие поляритоны фотонами в кристалле или просто фотонами,
чтобы отличать их от инфракрасных поляритонов, соответствующих оптическим
колебаниям ионов в кристалле, которые рассматриваются в§ 14.1. Подставив
(14.5) и (14.7) в (14.6), получаем оператор взаимодействия фотонов и
фононов
& ш=/ 2 Y Ш{ер {Q) фа) (Q)) {ьи'м (а<?р _ a-Q'р)-
Q, Р °
(14.8)
Входящие в (14.8) слагаемые, пропорциональные операторам 6?a"Qp и &Qaa?р,
ответственны за преобразование фотона в фонон
76
ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
[ГЛ. III
и обратный процесс. Если условиться изображать операторы "ер, Ьоа
соответственно волнистой и пунктирной линиями, идущими к узловой точке, а
операторы а$р, b+Qa такими же линиями, уходящими от узловой точки, то
процессы взаимного преобразования фотонов и фононов можно описать двумя
графиками, изображенными на рис. 17, а.. Согласно (14.8) такие
превращения возможны, если:
1) волновые векторы фотона и фонона совпадают (закон сохранения
импульса);
2) вектор поляризации фотона ep(Q) не перпендикулярен вектору
дипольного момента колебаний da(Q);
3) выполняется закон сохранения энергии
hb)Q = fi Q Q.
В первом приближении вероятности таких превращений в единицу времени
можно вычислить с помощью общей формулы квантовой механики (з9лотое
правило Ферми [5])
¦ g=т2|^|е%'ы|г')|2а(^~?;)' (14-9)
t
где Ef и -энергии конечного и начального состояний системы. Суммирование
выполняется по всем конечным состояниям /, обладающим нужным признаком.
Пусть р(Е^) - число таких состояний, приходящихся на единицу объема и
единичный интервал энергии. Тогда, заменяя сумму интегралом по Ef,
получим
ж =т I <f 1^ I г'> I2 р Е'=Ef (14-9а>
В частности, при переходе системы из состояния |0 = 1л<?р> vqo) в
состояние \f) = \nQp - 1, v<?a-fl) при испускании в единичный телесный
угол (вблизи направления, определяемого законом
сохранения импульса) фонона частоты ш имеем р (Ef) = h ^nvy •
Следовательно, вероятность такого перехода в единицу времени определяется
выражением
где Vqo. и nQp - числа фононов и фотонов в начальном состоянии, у -
скорость фонона.
Приведенное выражение описывает поглощение света кристаллом только в том
случае, когда из-за взаимодействия с другими многочисленными
колебательными степенями свободы кристалла Энергия оптического колебания
распределяется между ними за время, значительно меньшее времени обратного
превращения оптического фонона в фотон.
теория взаимодействия света с фононами
77
14.1. Рассеяние света на поляритонах, обусловленных оптическими
колебаниями ионов. Смещения ионов из положений равновесия могут изменять
поляризуемость элементарной ячейки кристалла. Изменение поляризуемости,
обусловленное смещениями ионов при а-й ветви колебаний, можно записать в
виде
ДМл) = ? B"it(p)bw(n, Р). (14.1Q)
р, i
Поскольку поляризуемость а1;- является симметричным тензором второго
ранга, то (14.10) отлично от нуля только для ветвей колебаний,
относящихся к неприводимым представлениям, характеризующим преобразования
произведений координат х, у, г. В частности, к таким колебаниям относятся
все полностью симметричные колебания. Для кристаллов с точечной группой
симметрии C2h и D2 согласно табл. 5 и 6 изменение поляризуемости
а)
Рис. 17. Графическое изображение взаимопревращения фотонов и фононов (а)
и процесса комбинационного рассеяния (б).
должно наблюдаться при колебаниях, относящихся к неприводимым
представлениям Ag и Bg и AiBiB2B3. Такие колебания называются активными в
рамановском спектре, так как они проявляются при рамановском или
комбинационном рассеянии. В кристаллах, обладающих центром симметрии,
колебания, активные в рамановском спектре, неактивны в инфракрасном и
наоборот. В кристаллах, не имеющих центра симметрии, могут быть колебания
одновременно активные в инфракрасном и рамановском спектрах.
В электрическом поле поляризуемость (14.10) приводит к появлению
дополнительного электрического момента
bPi(n) = 2 Aav (п) Е, (п).
1
Поэтому взаимодействие колебаний, изменяющих поляризуемость кристалла, с
электрическим полем фотонов в кристалле определяется выражением,
квадратичным относительно напряженности
78
ФОНОНЫ в ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
1ГЛ. Ill
этого ПОЛЯ
- ?'?,(") АР, (л) 2 (я) Дс#> ?,(/*). (14.11)
- I, п п. I, /
Заменяя в этом выражении напряженности электрического поля операторами
(14.7) и смещения в (14.10) операторами (14.2), получим оператор
взаимодействия электромагнитного поля и колебаний ветви а в представлении
чисел заполнения, определяющий комбинационное рассеяние фотонов в среде
