Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
попадающими в первую зону Бриллюэна, можно записать оператор Гамильтона
системы взаимодействующих поперечных фотонов и фононов в виде
в9Г = т2в9Г*", (13.33)
*. а,
где
ка = Лщ + к, аЯ- к, а) + ^?2/ (Ь^а + а Ь- k, а) -
- Dk [(а*а - Q-ь, а) (Ька~\- Ь- *, а) + (в-к, а - О-ка) (Р- к, а +
Ь?а)]-
(13.34)
В изотропных кристаллах со* и D* не зависят от индекса поляризации- а,
ниже для упрощения записи мы будем этот индекс опускать.
Диагонализация оператора (13.34) осуществляется каноническим
преобразованием к новым бозе-дператорам
- v^aLk-v^bt-k, ц=1,2,_ (13.35)
где нд,- и - четыре вещественные четные функции к, которые выбираются
так, чтобы оператор (13.34) принял вид
2
"^*¦=2 + (13.36)
м = 1
и операторы удовлетворяли бозевским перестановочным соотношениям
(13.37)
Подставив (13.35) в (13.37) и учтя коммутацию операторов фононов с
операторами фотонов, получим систему уравнений
2
(wix/w(xW (13.38)
/ = 1
Значения Йсой в (13.36) для каждого к в первой зоне Бриллюэна
соответствуют энергии новых элементарных возбуждений - поляритонов. Для
определения Йсо^ вычислим коммутатор [(Зм, е5Г*]
двумя способами: а) подставим в коммутатор значение (13.36),
тогда
[ft*, ^*] = Н(*)РИ; 03.39)
§ 131 ' КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИТОНОВ v 73
б) подставим в коммутатор значения (13.34) и (13.35), тогда
"А [Ри> e^k] = -\-Dk (и^2 -{- )]а* -f- [u^Qi - D*(m^x - u,ii)]
+ [tViw* - Dk (uyl2 + y|l2)] fl- * + (m^j - ytn)] bLb. (13.40)
Сравнивая (13.39) с (13.40) при учете (13.35), находим систему' уравнений
(СО^ - СО*) U^I = Dk (м,х2 + У(Х2)> ((c)(! + (c)*) Vva -D^ (",12 + ^2).
^|л
((c)ц - &l) W(X2 = Dk (v^i - W|xl), (ft>n + &t) Уй2 = (WjxX - P^i).
Из этих уравнений следуют равенства % w* Q; -
^-%+соА "иь yM2 - "М2,
позволяющие исключить и ии2. Таким образом, получаем систему двух
однородных уравнений
((c)ц - (c)*) (сой + Q;) - 2Q;D*Jikl2 = 0, ^
2(c)*D*M(ii -f- ((c)(х -f- со*) (со^ - Q/) = 0.
Условие разрешимости этой системы сводится к уравнению
Г rVl
(04-с0^ Q| + - +^- = 0, • (13.43)
1. 60О J 60О
определяющему две ветви новых элементарных возбуждений (c)^ (к) = ~ (Qfro +
c2k* ± У(ф1 + сЧ^-тсЧЧп). (13.44)
^ОО
Эти значения в точности совпадают с решениями (12.7), полученными в
классической теории.
Решая уравнение (13.43) относительно с2А2 при фиксированной частоте со,
определим диэлектрическую проницаемость кристалла
#к a bJqI-w2)
"и-5Г = ТР5Г-. (13-45)
характеризующую отклик кристалла на внешнее воздействие. Выражение
(13.45) имеет смысл и для частот со, лежащих в области "щели" (Q< со ^
Q;) в спектре поляритонов. В этой области k является чисто мнимым и
определяет закон убывания амплитуды плоской волны частоты со при ее
прохождении в кристалле. При учете (11.17) диэлектрическая проницаемость
(13.45) преобразуется к виду
, , а? (""-в*,)
74
ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
[ГЛ. III
§ 14.^Элементарная теория взаимодействия света с фононами
Взаимодействие фотонов с фононами в кристаллах проявляется в явлениях
поглощения, испускания и рассеяния света. Как было показано в предыдущих
параграфах, в кристалле, содержащем а атомов, в элементарной ячейке
имеется За ветвей колебаний с-частотами Qa(ft) (a=l, 2, ..., Зет).
Оператор Гамильтона этих колебаний
Оператор вектора смещений атома с массой тр в элементарной ячейке п для
a-й ветви колебаний имеет вид
Единичные векторы ^">(6), характеризующие направления колебаний,
удовлетворяют соотношениям
Пусть а -ветвь таких колебаний, при которых изменяется электрический
момент единичной ячейки кристалла. Оператор этого момента можно
определить выражением
разуются при операциях симметрии кристалла как координаты х, у, z.
Поэтому этот оператор отличен от нуля только для ветвей колебаний,
которые относятся к неприводимым представлениям точечной группы кристалла
таким же, как и координаты х, у, г. Например, для точечных групп С2л
(табл. 5) и D2 (табл. 6)' отличный от нуля дипольный момент может быть
только у колебаний, относящихся, соответственно к неприводимым
представлениям Аа, Ви и Blt В2, В3.
(14.1)
ь
<7
Е"|Г<*>'Г <"-""¦..
р=1
(14.3)
р=|
(14.4)
где "р -электрический заряд атома Р;
(14.5)
Компоненты вектора электрического момента (14.5) преоб-
ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СВЕТА С ФОНОНАМИ
75
В дипольном приближении оператор взаимодействия фононов ветви а с
электромагнитным полем, определяющий поглощение и испускание фононов,
можно записать в виде
"STint =-? "№(/"), (14.6)
п
где Е (л) - оператор напряженности электрического поля в узле п.
Таблицаб Таблицаб
Неприводимые представления Неприводимые представления
группы С2Л группы D2
Е С\ Ог ( Е Сг С? сх
1 1 1 1 X2, у*, z2, ху Ai 1 1 1
1 х2, у2, г2
А" 1 1 - 1 -1 г 1 1 -1 - 1 ху, г
Ь? 1 -1 - 1 1 хг, уг В,? 1 - 1 1 - 1
хг, у
Ни 1 -1 1 - 1 х, у в3 1 - 1 -1 1 уг, х
Он выражается через операторы рождения и уничтожения фотонов (см.
(13.15))
Е(п) = *Уж1е p(Q)V^(aQp-atQiP)e'^, (14.7) <?, р
где ер (Q) -^единичные векторы поляризации фотона, имеющего волновой
