Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
изменяются во времени по гармоническому закону
-Лвр-(*НЛвр(0)е"'в,в<, (13.11)
со
Переход к квантовому описанию состоит в замене Aqp и Bqp операторами,
удовлетворяющими перестановочным соотношениям
Uqp(0, Bq'p' (О] ~ t'AS<j5'6pp'.
В представлении чисел заполнения операторы Aqp и Bqp выражаются через
бозе-операторы рождения а%р и уничтожения а<?р
*) Вещественные векторы ер (Q) определены условиями (13.10) неоднозначно.
Можно ввести другую лару единичных векторов, повернутую по отношению к
первой в плоскости, перпендикулярной Q. Вместо вещественных векторов ер
"?). определяющих линейную поляризацию фотонов, можно ввести комплексные
векторы
е+ = 77я= ^ + ie* (<^ и = -Рчг & -1е* №)Ь
У 2 |/ 2
характеризующие левую и правую круговые поляризации.
§ 13] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИТОНОВ 69
элементарных возбуждений электромагнитного поля (фотонов)
i Г 2лйс2 , . + ч -> 1 Г Йсодё
Aqp- у ^r(aQp + р)> BQP = iy -8jlC2 (а<?р - "-с, р)-
(13.12)
При этом
[q<?pi = 6<?i, е$р, рп [авр> aQu pj = 0.
Проведя преобразования (13.12) в (13.7) и (13.8), получим операторы
векторного потенциала и сопряженного к нему обобщенного импульса
А (г, 0= '^1]/Гу^^ер(Я)^9г(а9р + а±я,р),
°'Р __ (13.13)
в (г, о = *2У ^r"p(Q)^l4?r(aep-a-9.p)-<?. р
Переходя в (13.6) к операторам (13.13), интегрируя по объему кристалла и
учитывая равенство
[Qgp(Q)][Qgp1(Q)] = C26pp1,
получим гамильтониан электромагнитного поля в кристалле
s5r'= У (13.14)
<?. р
Оператор напряженности электрического поля
VI -I Г 2лЬа>п _
E(r, t) = i 2d у -yz-^e(>(Q)eiQr(aQ(>-a-Q, р) (13.15)
Q. р 00
получается из (13.2) при переходе к операторам (13.13).
В изотропной среде электромагнитные волны поперечны и взаи> модействуют
они только с поперечной пбляризацией кристалла. Пусть Р - вектор удельной
поляризации, обусловленной только смещением ионов из положений
равновесия. Тогда плотность энергии взаимодействия поля поперечной
поляризации с полем напряженности Е будет
• иш=-РЕ. (13.16)
Пренебрегая дисперсией частот Q,t поперечных оптических колебаний, можно
записать плотность кинетической и потенциальной энергии поля поляризации
кристалла в виде
/С = ]рР2, ?/=~рй?/". (13.17)
Параметры р и входящие в (13.17), будут определены ниже.
70 ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. III
Итак, плотность функции Лагранжа для поля поляризации кристалла,
взаимодействующего с электромагнитным полем, согласно (13.17) и (13.16)
определяется выражением
#" = lp(/"-Q?P*)+P?. (13>18)
С помощью (13.18) находим уравнения Лагранжа для поля поляризации
р (P+Q)P) = E. (13.19)
Таким образом, в отсутствие поля Е собственные колебания вектора
поляризации удовлетворяют уравнению
P+Q?P = 0,
из которого следует, что величина ?2/ является собственной частотой
поперечных колебаний поляризации. В статическом поле Е = Е0 согласно
(13.19) при смещении ионов возникает поляризация " -
Р0 = Е0/$Щ.
Если ео - диэлектрическая проницаемость кристалла в статическом поле, то
удельная поляризация Р0 определяется также равенством
п _е° Есо f
Сравнивая эти два выражения, находим
P==fiHso~eoo )• (13-2°)
Плотность функции Лагранжа электромагнитного поля и поперечной
поляризации равна сумме (13.1) и (13.18), т. е.
X = ^[^A*-(rotA)*] + ^(i*-ntP>)-|рЛ. (13.21)
Сопряженные импульсы В и П к векторному потенциалу А и поляризации Р
определяются по общим правилам
В = д-Л = Г~*А--Р' n = d-§r = Vp' (15.22)
дА 4лс2 с дР
Следовательно, плотность функции Гамильтона
2Mi-^ = 8s{^Aa + (rot 4)"} + yP(P*+Q?P*). (13.23)
§ 13] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИТОНОВ 71
Чтобы облегчить переход к квантовому описанию, надо в этом выражении
обобщенные скорости заменить с помощью (13.22) обобщенными импульсами.
Тогда получим полную функцию Гамильтона при интегрировании по объему
кристалла
W=Wf+Wp+WinU
где
+ j,
п
п
V - объем элементарной ячейки кристалла; Р", П" - значения удельной
поляризации и сопряженного к ней импульса для п-й ячейки кристалла.
Выражение (13.25) совпадает с (13.6). Как было показано выше, заменяя А и
В операторами (13.13), мы преобразуем его в оператор Гамильтона (13.14).
Функция Гамильтона поля поляризации (13.26) преобразуется в оператор
Гамильтона
<2%%= ^^(tta + Vi) (13.28)
k, a
при замене Р" и П" операторами
?я = Т/*^! 2 е*(*)еия(Ьм* + Ы-м1а). (13.29)
" A, a
пя = i уц?1 2 е* W№ - ь~к-a)- (13-3°)
A, a
В (13.28)^(13.30) суммирование выполняется по всем N значениям вектора k,
лежащим в первой зоне Бриллюэна и по двум значениям а, характеризующим
две возможные поляризации поперечных колебаний ионов.
Наконец, переходя в (13.27) к операторам (13.13) и (13.29), получим
оператор взаимодействия поля поляризации и электромагнитного поля
2 ftD*(e-*."-aW(ha + &-*."), (13.31)
(13.24)
(13.25)
(13.26)
(13.27)
72 ' ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ (гл. ш
Из (13.31) следует, что фотоны с волновыми векторами Q, лежащими вне
первой зоны Бриллюэна, не взаимодействуют с фоно-нами оптических
поперечных колебаний ионов в кристалле.
Опуская энергии нулевых колебаний и часть onepafopa f с векторами Q, не
