Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
первая ветвь с частотами в интервале 0^a1(k)<^Ql и вторая ветвь с
частотами в интервале
Qi <о2 (к) < сю.
При больших значениях k возбуждения первой ветви совпадают с поперечными
фононами, а возбуждения второй ветви - с фотонами в среде с
диэлектрической проницаемостью еда.
66
ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
[ГЛ. III
Однако в окрестности значений k = V&qQJc поляритоны представляют собой
весьма сложную "смесь" фотонов и фононов.
На правой половине рис. 16 изображены две ветви частот полярйтонных
возбуждений, на левой половине этого рисунка показано, как проявляются
эти возбуждения на значениях показателя преломления п и коэффициента
поглощения электромагнитных волн заданной частоты со, распространяющихся
внутри кристалла. Таким образом, поляритонные возбуждения являются не чем
иным, как стационарными электромагнитными волнами внутри кристалла.
Энергия этих волн естественно включает и энергию поляризационных
колебаний кристалла.
В области прозрачности кристалла поляритоны (больших длин волн)
тождественно совпадают с фотонами в кристалле, так как
отличаются от свободных фотонов той же частоты только меньшей (в п раз)
длиной волны. Первая поляритонная ветвь описывает фотоны с частотами,
меньшими Q/, а вторая -фотоны с частотами, превышающими ?2г.
В рассмотренном нами случае не учитывалась дисперсия поперечных фононов.
Далее следует иметь в виду, что: 1) формула (11.20) справедлива только
вне области поглощения (со Ф ?2/). Поэтому найденные поляритонные ветви
соответствуют электромагнитным волнам в кристалле- в области
прозрачности. При учете конечного времени жизни поперечных фононов и
поляритонные состояния будут обладать конечным временем жизни; 2)
макроскопическая диэлектрическая проницаемость определена только для
кристаллов достаточно больших размеров по сравнению с длиной
электромагнитного излучения. Поэтому о полярйтонных состояниях можно
говорить только в случае кристаллов, размеры которых больше длины волны
излучения; и, наконец, 3) в предыдущих рассуждениях предполагалось, что
электромагнитное поле находится внутри кристалла и не покидает его.
Это
справедливо только для кристаллов, окруженных идеальными
зеркалами, или имеющими бесконечные размеры. Из кристаллов конечных
размеров электромагнитное поле излучается. Это приводит к дополнительному
сокращению времени жизни поляри-тонов.
Рис. 16. Зависимости частот (о( и <Oj двух ветвей полярйтонных
возбуждений от волнового вектора к (справа) и квадратов показателя
преломления пг и коэффициента поглощения ха от' частоты (о (слева).
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИТОНОВ
67
§ 13*. Квантовая теория поляритонов
Поляритоны представляют собой элементарные возбуждения ионных кристаллов,
в которых участвуют поперечное электромагнитное поле и относительные
смещения ионов. Смещения ионов из положений равновесия создают в
кристалле поляризацию. Кроме того, поляризация кристалла возникает и при
закрепленных ионах при смещении их электронов относительно ядер. Эта
электронная поляризация кристалла в области частот колебаний ионов
характеризуется диэлектрической проницаемостью еет. Мы учтем электронную
поляризацию, если будем считать, что электромагнитные волны
распространяются в кристалле как в непрерывной среде с диэлектрической
проницаемостью е^. Следовательно, их скорость, в отличие от скорости
света в пустоте с, будет равна
c/V е-х,-
Чтобы провести квантование такого поля, рассмотрим плотность функции
Лагранжа
= (13.1)
где Е и //-напряженности электрического и магнитного полей,
которые выражаются через векторный потенциал А с помощью
равенств
? = - ~At H^xotA, div А = 0. (13.2)
Учитывая, что
dXf 1 ' i * л
-гг = -7- rot rot А, дЛ Ал '
и вычисляя уравнения Лагранжа, получаем первое уравнение Максвелла
е_ дЕ
fw = rotH. (13.3)
Три других уравнения Максвелла следуют автоматически из равенств (13.2)
±^f=-rot?, divfl=div? = 0:
с dt
Из (13.3) и (13.2) находим уравнение движения для векторного потенциала
Л- -VM = 0. (13.4)
(r)оо
Согласно (13.1) обобщенный импульс В, сопряженный векторному потенциалу,
определяется выражением
68 ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. IIJ
Функция Гамильтона, выраженная через векторный потенциал и обобщенный
импульс, принимает вид
Wf = ^ $ (е.Е2 + Я2) dV + (rot А)2) dV. (13.6)
Будем предполагать, что кристалл кубической сингонии с постоянной решетки
а имеет форму куба с ребром L и объемом
V = L?a3. На электромагнитное поле, заключенное в кристалле, и на
смещения ионов накладываются циклические граничные условия. Тогда можно
провести фурье-преобразования
А (г, 0 = у= ^ep(Q)AQp(t)e^, AQp = ALQ,p, (13.7)
Q, Р
B{r, ^ep{Q)BQp{t)e-^y BQp=B!LQ,p, (13.8)
Q, P
где компоненты волнового вектора Q пробегают бесконечный ряд дискретных
значений
Ql=z*p.t /= 1, 2, 3; V/ = 0, ± 1, ±, , (13.9)
eP(Q)~ единичные векторы поляризации волн, удовлетворяющие условиям *)
Qep(Q) = 0, ep(Q)e^(Q) = Spf}, р, р = 1,2. (13.10)
Векторный потенциал (13.7) удовлетворяет уравнению (13.4), если Aqp (t)
