Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Кристалл Яг 10" сек-* . Ео есо
NaCl 3,09 5,62 2,25
КС1 2,67 4,68 2,13
Т1С1 1,61 31,9 5,10
ZnS 5,71 8,3 5,07
Рассмотрим теперь вынужденные колебания ионов кристалла под влиянием
внешнего поперечного поля ?ш(/) = ?т(0)ехр (-иot) заданной частоты to. В
этом случае уравнение (11.7) принимает вид
% + &% = у1гЕа(().
Положив 1 = 1оехР(-получаем решение для вынужденных колебаний
1<0 = Q2_ E*(t) •
Теперь с помощью (11.4) можно определить удельную поляризацию,
возникающую в кристалле под влиянием внешнего поля Ea(t) частоты to,
§ 11]
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ВЕТВЕЙ
63
С другой стороны, удельная поляризуемость определяется диэлектрической
проницаемостью е (со) с помощью соотношения
. е. (со) -
4л
(11.19)
Сравнивая (11.18) и (11.19), получаём при учете (11.10), (11.11) и
(11.17)
е(со):
(80-8оо)Щ (r)оо (Qf - <в2)
Qf - со2
(11.20)
Из (11.20) следует, что нуль диэлектрической проницаемости соответствует
собственным частотам продольных колебаний, а полюс - частотам поперечных
колебаний. e,nz,x.s
На рис. 15 изображена зависимость диэлектрической проницаемости от
частоты.
Диэлектрическая проницаемость с помощью уравнений Максвелла определяет
закон прохождения электромагнитных волн заданной частоты через кристалл.
В кристалле плоская волна частоты со должна иметь вид Еа(г, t) = ?0ехр[г
(ftr -со/]),
(11.21)
где волновой вектор k зависит от частоты с помощью равенства
Рис. 15. Зависимость диэлектрической проницаемости е, квадратов
показателя преломления п2 и коэффициента поглоще-
ния уг от частоты.
ft2 = ^8 (со). (11.22)
Полагая = + гТг2 и вводя показатель преломления п (со) и
коэффициент поглощения х (со) с помощью соотношения
(^ + ^2)2 = "-(/l + w)2.
из (11.12) получаем
п" -
= е(со),
/IX = 0.
Следовательно, при е(со)>0 и х = 0 п (со) = У г (со), поэтому плоская
волна (11.21) распространяется с вещественным волновым вектором
= ^]/е(со), &2 = 0.
64
ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
[ГЛ. III
При е((о)<;0, " = 0, х - У-е(а>) плоская волна (11.21) распространяется с
мнимым волновым вектором
*i=0, k2 = у V- е ((r)),
т. е. в области частот со, при которых е(о>)<0 при прохождении
электромагнитной волны в кристалле ее амплитуда экспоненциально
уменьшается.
§ 12. Макроскопическая теория поляритонов
При исследовании поперечных оптических фононов в предыдущем параграфе мы
учитывали только статическое кулоновское взаимодействие между ионами.
Запаздывающее взаимодействие переносится поперечными электромагнитными
волнами, которые порождаются при поперечных оптических колебаниях ионов.
Взаимодействие квантов свободного электромагнитного поля - фотонов и
фононов поперечных оптических колебаний особенно велико, когда их энергии
и волновые векторы почти равны. В этих условиях стационарным состояниям
кристалла отвечает "смесь" фононов и фотонов. Эти новые элементарные
возбуждения были названы поляритонами [9].
Макроскопическая теория поляритонов в изотропных средах может быть
развита, если при исследовании поперечных колебаний ионов в уравнениях
(11.7) и (11.4) мы сохраним поперечное поле
I/+ (12.1)
Pt - Y12!/ + (12.2)
и дополним их уравнениями Максвелла
rot/f=y(?, + 4n/>,), rot Et=-~H, (12.3)
div//=0, div (Et-\-4nPt) = 0, (12.4)
связывающими поперечные поля H, Et с поперечной удельной поляризуемостью.
Для поперечных полей уравнения (12.4) удовлетворяются автоматически.
Решение системы уравнений (12.1)-
(12.4) будем искать в виде
Ех Рх Le Ну fiu Ат
р- = р- = Г- = JT = ехР [* (кг - "*)]•
СХ0 ~ *0 ЪХО "1/0
тогда получим систему уравнении
(?2< - о2) - УцЕх = 0, kEx = ^-Hy,
Рх - УиЕлЧ- УмЕх* кН у = - (Ех + 4пРх)-
§ 12] МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИТОНОВ 65
Условие нетривиальной разрешимости этой системы сводится к равенству
Qi - со /
Подставив значения (11.10), (11.11) и (11.17), получим окончательно
c2k2 е (Q? - со2)
- = -2-.-----о • (2.5)
"2 пг-ш2 v '
Правая часть этого равенства совпадает с диэлектрической поляризуемостью
е(со) кристалла (11.20), вычисленной без учета запаздывания
взаимодействия.
Уравнение (12.5) позволяет вычислить значение волнового вектора к как
функцию заданной вещественной частоты со. В этом случае оно определяет
условие прохождения через кристалл электромагнитной волны определенной
частоты. С другой стороны, решая уравнение (12.5) относительно со,
мы определим частоты
новых элементарных возбуждений - поляритонов как функцию вещественного
волнового вектора к. Относительно со уравнение (12.5) четвертого порядка
?oo<u4 - со2 (еюЙ/ -f k2c2) + k2c2Q'i = 0. (12.6)
Если учесть равенство (11.17), то его решения можно записать в виде
2600(0^ = Й?ео + с2?2±У"(фео4-с2?2)2 - 4Q^2eCX). (12.7)
При малых значениях k два решения (12.6) принимают вид
">i(*) = Q?^+f*-*=QJ + f^, (12.8)
ЬСО ЬСО 00
a>i (k) - c2k2/e0.
При больших значениях k еще удовлетворяющих
условию макроскопического описания (ka< 1),
"4 = 7^, o>! = Q?. (12.9)
00
Таким образом, имеются две ветви элементарных возбуждений (поляритонов):
