Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
полностью некогерентным и напоминает "прыжки" с одной молекулы на другую.
В связи с этим говорят о прыжковом механизме движения возбуждения. Модель
когерентного движения развивалась впервые в работе Мерифильда [414], а
модель некогерентного движения в работе Трлифая [404] и других [385,
398].
ДВИЖЕНИЕ ЭКСИТОНОВ В МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ
533
В случае триплетных возбуждений матричные элементы обмена возбуждением
обусловлены обменом электронами между молекулами, которое экспоненциально
убывает с расстоянием между молекулами. Даже для ближайших соседей они
имеют порядок величины 5-10 см1. Поэтому при не очень низких температурах
весьма вероятен прыжковый характер движения экситонов. В непрерывной
модели такое движение вероятности возбуждения описывается уравнением
диффузии, которое при одномерном движении имеет вид
D (61.3)
dt дх2 4
В феноменологической теории коэффициент диффузии D 'связывает поток
экситонов с градиентом их концентрации. В изо" тропном кристалле можно
написать
D = ^2wonn2, (61.4)
ft
где Won - вероятность перехода в единицу времени возбуждения от молекулы
0 к молекуле п. В анизотропных кристаллах вероятность перехода
возбуждения между молекулами существенно зависит от направления.
Например, в работе Авакяна с сотрудниками [412] показано, что в кристалле
антрацена движение экситонов в основном происходит в а&-плоскости.
Измеренный коэффициент диффузии при комнатной температуре оказался равным
6,2- 10~6 см2/с. При этом на одной молекуле возбуждение находится в
течение 3 - 10 10 с. Если учесть, что время жизни триплетного экситона
т0"=г10~2с, то при малых концентрациях экситонов диффузионная длина
оказывается равной / = ]/2Dt0?=" ^3,5-10 4 см. Согласно измерениям [398]
матричные элементы передачи возбуждения между соседними молекулами
антрацена, лежащими в плоскости ab, равны ^2,1 см~1. Поэтому при а = 8,56
А согласно (61.2а) значение скорости триплетных экситонов при когерентном
движении равнялось бы vc ^ 3,4 • 104 см/с.
Средняя их скорость при диффузионном движении vd=-^-^
^ 3,4 • 10"6 см/с.
61.1. Теория влияния фононов на движение триплетных экситонов. Теория
движения триплетных экситонов в кристаллах с узкими энергетическими
зонами развивалась во многих работах: Трлифай [404], Такено [405], Хакен
и Рейнекер [406], Авакян с сотрудниками [398, 412].
При учете взаимодействия экситонов с фононами перемещение электронного
возбуждения в кристалле обусловлено матричными элементами
еМат(Ё) = М"т + Еат{Ё), (61.5)
534 ТРИПЛЕТНЫЕ ЭКСИТОНЫ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. XII
где Мпт - матричные элементы передачи возбуждения в жесткой решетке,
определяющие энергетическую полосу ,
" (*)= 2 Mnmexp[ik(n- т)\ (61.6)
n - tn
свободных экситонов; Н (?) - матричные элементы массового оператора
(60.31). Массовый оператор, вообще говоря, комплексный и зависит от
энергии элементарного возбуждения и температуры кристалла.
Чтобы выяснить основные особенности матричных элементов
(61.5), рассмотрим приближение, введенное Такено [405], при котором
матричные элементы Dnm(s), характеризующие взаимодействие экситонов с
фононами, можно написать в виде
Dnm(s) = asMnm/VN, (61.7)
где as - коэффициенты, определяющие вклад во взаимодействие нормального
колебания s. Учитывая, что в идеальном кристалле функции распространения
свободных экситонов имеют вид
" - 1 V ехр [ik(n-m)]
gnmlfi) N ^ •
k
и используя равенства (61.6) и (61.7), получаем
<*>&.<?) о- =
р, I к
= 4 [E2gnm (Е) - ЕЬпт - Мпт]. (61.8) С помощью равенства (61.8)
преобразуем (60.31) к виду
S(?) = -(r)Mnm + ^r2aIX
5
x[(^i+ 1) (Ё -$QS) gnm (Ё -/zQs)-f- ns (Е -\-hQs)2 gnmiE -
-~bnm^al[{2nsy\)E-UQS\, (61.9)
S
где
=w 2<2я*+1}- (6L10)'
s
Таким образом, матричные элементы (61.5) передачи возбуждения между
молекулами и и m при учете взаимодействия с колеба-
ДВИЖЕНИЕ ЭКСИТОНОВ В МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ
535
ниями решетки принимают вид <Мпт(Ё) = {\-т)Мпт + ^'^а\Х.
S
X[(я, + 1)(Ё -HQsf g"m (Е-HQS) + П${Ё+ gnm(Ё + HQS)],
пфт, ?=? + tr). (61.11)
В кристаллах с центром симметрии при малых rj мнимая часть о/Ипт (Е)
определяется выражением
Im о№"т{Ё) =
~ * 2*{<*+*>се -"tfГ' +
+пАЕ+па,г |, (61.12)
где суммирование по k выполняется по половине зоны Бриллюэна (например,
при kz]s^0).
Итак, взаимодействие экситонов с фононами приводит к появлению мнимой
добавки к матричным элементам Мпт и к уменьшению их абсолютной величины.
Эти изменения возрастают с ростом температуры.
Для исследования перемещения электронного возбуждения в кристалле введем
матрицу плотности
Р (0 = 2 Рпт (0 ВпВт.
п, т
Ее матричные элементы определяются равенством
P""(0 = Sp{p(05iB"}. (61.13)
Усреднение проводится по тому же каноническому ансамблю, который
использовался при определении функций Грина (60.7). Диагональный элемент
р"" (t) характеризует изменение с течением времени вероятности пребывания
возбуждения на молекуле п.
При фиксированной энергии Е элементарного возбуждения оператор
"эффективного волнового уравнения" (60.27) в матричной форме записи имеет
