Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
энергиями E+(k) и Е^{к), которые можно найти при решении уравнения
(60.22). Эти решения, в частности, можно получить графическим путем.
При выполнении неравенства D (s, k)<.hQs уравнение (60.22) можно решить
методом последовательных приближений. Подставив в правую часть (60.22)
значение ?(ft) = "(ft), находим в первом приближении энергию бесфононного
состояния
E0(k) = t(k)-~^D2(s,k)ms.
S
Если взаимодействие экситонов осуществляется только с одной ветвью
оптических колебаний s = 0, то, сохраняя (при малом затухании) в правой
части (60.22) только одно слагаемое
О
или ' находим энергии однофононных спутников
Е+ (ft) = * (ft) + 1ЙЙо + 4 V№or + 2 ("о + 1) D* (0, k),
Е_ (ft) = с (ft) - ~ HQо -1У(hQ0)2-\-2n0D2 (0, ft).
При не очень высоких температурах эти выражения упрощаются еще более:
Е+ (ft) = t (ft) -f- ЙЙ0 -f- (по 1) D2 (0, ft)/2flQot ?_ (ft) = f (ft) -
ЙЙ0 - n0D2 (0, k)/2tlQ0.
В приближении эффективной массы энергия свободных экситонов t (ft) =
h2k2/2m*. Взаимодействие с фононами согласно
§ 60] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКСИТОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ 527
(60.22) изменяет энергию экситонов и, следовательно, эффективную массу
экситонов. Новая эффективная масса М* (в области малых к) определяется
условием
2М* 2т* 2 ZI 1
S
из которого следует
М* = т* ^1 - ^D2 (s, 0)] 1 > т*.
S
60.2. Пространственно-неоднородные элементарные возбуждения в
кристаллах. При исследовании миграции электронной
энергии в однородном кристалле необходимо рассматривать нестационарные
состояния, в которых в начальный момент времени электронное возбуждение
сосредоточено в небольшой области кристалла. В этом случае, а также при
наличии примесей и других неоднородностей кристаллической решетки, при
решении системы уравнений (60.9), (60.12) и (60.13) удобно сохранить
узельное представление.
Следуя работе Такено [409], будем рассматривать входящие в эти уравнения
величины
Gmn ш (Ё), П/ял (?). Dmn(s),
Lmtt " &тп М тп" м тт - 0 (60.23)
как матричные элементы квадратных матриц jV-го порядка. Тогда исследуемая
система уравнений преобразуется к виду
(Е1-Ь)0(Ё) = 1+%D(s)a>(s, Ё),
S
(EI-L)4>(s, ?) = (Bs + 1/a)D(s)G(?)-ftQin(s, Ё),
(El - L) П (s, Ё) = - VaD (s) G (Ё) - ЙЙД1 (s, ?),
где / - единичная матрица.
Исключая из этой системы уравнений матрицы Ф и П, получаем уравнение для
матрицы G в символическом виде
[?/-L-S(?)]G = /t (60.24)
где матрица "массового оператора" или "собственной энергии" определяется
выражением
В(?)=42D<S)X
S
X {(я, + 1)[(Ё- ms) I - L]-1 + ns 1(Ё + HQ,) I - L]-1}. (60.25)
528
ТРИПЛЕТНЫЕ ЭКСИТОНЫ В КРИСТАЛЛАХ
[ГЛ. ХП
Запишем в явном виде матричный элемент т, п уравнения (60.24)
2 [ЁЪ mmt - Lmmt - E mmt (?)] Gmi " (Ё) = 8mn. (60.26)
m i
Из этого уравнения следует, что элементарные одночастичные возбуждения
являются решениями однородной системы уравнений, соответствующей (60.26).
Эти уравнения можно записать в виде
(6о27)
П
где Y - вспомогательная функция, характеризующая распределение
возбуждения по узлам решетки. Уравнение (60.27) называют "эффективным
волновым уравнением" (см. [408]). Оно нелинейно относительно Ё, так как
массовый оператор (60.25) является сложной функцией Ё.
Предположим, что мы знаем собственные значения и собственные функции
уравнения
Yi^$mn - Lmn)yK(n) = 0, (60.28)
П
не учитывающего взаимодействия электронных возбуждений с фононами.
Оператор Lmn эрмитов, поэтому собственные значения вещественны, а
собственные функции удовлетворяют условию, ортонормируемости
(я) = ^и,. ?у>Ап)ух(т) = 8Пт. (60.29)
П ' h
Теперь матричные элементы обратных операторов [В/ - L]-1, входящие в
выражение (60.25), определяющее массовый оператор, можно записать в виде
= (60.30)
Т ?_<л
где
Ё = Е-\- гг|.
В идеальном кристалле с одной полосой экситонных состояний X = k, (А =
((к), фk(n) = ~eikn, поэтому
= (60.30а)
§ 60] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКСИТОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ 529
В приближении эффективной массы в изотропных кристаллах t{k) = fi2k2/2m*.
В этом случае, переходя ь (60.30а) от суммы по ft к интегралу, получим
при пфт,
1Г-.1 ^
где у -объем элементарной ячейки кристалла.
Матричные элементы массового оператора (60.25) выражаются через функции
(60.30)
'Впт (В) = у J DnР (S)^ + 1} " АЙ*) +
s,p,l
+ nsgpl(E + H?ls)]Dlm(s). (60.31)
Выделим в массовом операторе (60'.31) вещественную и мнимую части
Enm{E) = V°m(E)-iTnm{E). (60.32)
Тогда, учитывая явный вид функций (60.30), находим выражение вещественной
части массового оператора
е;" (е) = 12 d." (s) 2 44 (р) ч* (0 {+
s,p,l А
[?¦ - "х + п2 .
Мнимая часть массового оператора- (60.32) имеет значение
Г пт (Е) = I 2 D"P (S) 2 (0 ' X
S ,р,1 А.
Х + + [E-ilJrmsf + rf }Dtm (60-34)
Формальное решение уравнения (60.24) для фурье-образа гриновской функции
G(?) = [?/-L-E(?)]"1 можно записать в виде уравнения Дайсона
С(?)= [EI-L] 1 + [EI-L]~lE{B)G(B). (60.35)
С помощью функций (60.30) матричные элементы этого уравнения можно
записать в виде
Gnm{E) =8пт(Ё) + ^8"р(Ё) Нр/ (Ё)СШ(Ё). (60.36)
