Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
nt,,mt
Уравнения (60.10) и (60.11) содержат функции Грина от четырех операторов.
Используя (Д.4), для них можно получить уравнения, содержащие функции
Грина более высоких порядков. Продолжая этот процесс, найдем бесконечную
систему зацепляющихся уравнений. Как правило, точное решение такой
бесконечной системы уравнений невозможно. Ее приходится обрывать на
некотором этапе. Делается это путем приближенного выражения функций
высокого порядка через функции низших порядков. Такой приближенный
характер решения является неизбежным. Он отражает невозможность строгого
выделения одночастичных элементарных возбуждений в системе громадного
числа взаимодействующих частиц.
7 Оборвем систему наших зацепляющихся уравнений, введя следующие
упрощения:
((ф51-6тф5; ВрУ) g 5SSl (ns х/2) Gmp {Ё),
"ф5Втя5; ВР))Е ^1/i8SSlGmp (Ё),
{{ВтВ^Вт- Smmi (Ne-\- 1) Gm,p (?) -j- &mimtNeGmp (?),
где
J'
Г ^ г1 г
: (btbs) = I <? - 1J , Ne^ (BtBn) = I
524
ТРИПЛЕТЦЫЕ ЭКСИТОНЫ В КРИСТАЛЛАХ
[ГЛ. XII
- средние числа фононов и электронных возбуждений при температуре Т.
В нашем случае t^>kT, поэтому Ne^ 0.
При указанных выше упрощениях уравнения (60.10) и (60.11) принимают вид
(?-<)
Ф/np (S> Ё) - 2 Mmm<bmlP (S, Ё) +
тх
(fls "Ь */2) Dtnnti (^) GmtP (Ё) -j- Ш4П
mp (s, Ё), (60.12)
ntt
(Ё - () Птр (s, E) = '^MnniUmiP(s, Ё) -
mx
-]2'2iDmmAs)GmlP?)-h&s(r)mp{s, Ё). (60.13)
ml
Исключив в уравнениях (60.9), (60.12) и (60.13) функции Фтр и Пт/,,
найдем фурье-образ Gnp (Ё) искомой гриновской функции. Полюсы Gmp{E)
определяют элементарные возбуждения в системе взаимодействующих экситонов
и фононов. Естественно, что эти возбуждения будут зависеть от
температуры. В следующих разделах этого параграфа мы рассмотрим частные
случаи таких элементарных возбуждений.
60.1. Пространственно-однородные элементарные возбуждения в кристаллах. В
идеальном кристалле матричные элементы М"т и Dnm(s) зависят только от
разности п - т. Поэтому квазиста-ционарные одночастичные элементарные
возбуждения характеризуются значениями вещественных волновых векторов ft,
заполняющих первую зону Бриллюэна в ft-пространстве. Энергии таких
элементарных возбуждений будут, вообще говоря, комплексными величинами.
Мнимая часть энергии отражает квазистационарность одночастичных
элементарных возбуждений, обусловленную принципиальной невозможностью их
строгого отделения от других типов возбуждений в системе.
Фурье-образы гриновских функций, входящих в уравнения (60.9), (60.12) и
(60.13), также зависят только от разностей, поэтому удобно провести
фурье-преобразование этих уравнений по пространственным переменным п. Это
преобразование осуществляется умножением уравнений на ехр [/ft (tn - р)]
и суммированием по (tn-p). Таким образом, получаем систему уравнений
[?-<(*) 0 (ft, Ё)=\ +%D(s, к)Ф(з, ft; Ё),
S
[Ё - < (ft)] Ф (s, ft; Ё) =
= (й* +72)0(s. ft) G (ft, Ё) - Ш3П (s, ft; Ё), (60.14)
[? - ((ft] П (s, ft; Ё) =
= - 1/2D(s, ft) G (ft, E)~hQJI(s, ft; Ё),
.§ 60]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКСИТОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ
525
где
"(*)="+ 2 ^ik{m-n)Mm,n
т - п
- энергия свободных экситонов;
D (s, ft)= 2 "(s)
m- л
- фурье-образ матрицы взаимодействия;
G(ft, ?)= 2 еШ{т-п)0,пп(Ё),
т - п
<D(s, ft; ?)= 2 ?),
т - п
П (s, ft; ?) = 2 ?)•
т - п
!
Исключая из системы уравнений (60.14) функции Ф(я, ft; ?) и П (s, ft; ?),
находим уравнение, определяющее G (ft, ?),
[? - f (ft) - S(ft, ?)]G(ft, ?)=1, (60.15)
где
a (ft, ?)s=-Yz?*(s, ft)L-Ш---------------- -------------1 (60.16)
Ё = Е + щ. (60.17)
Малая положительная величина ri характеризует естественное затухание
электронного возбуждения, например радиационное затухание, обусловленное
не учитываемым здесь явно взаимодействием с вакуумом электромагнитного
поля.
Функцию E(ft, Е) называют собственной - энергией или массовым оператором
экситонов. В нашем случае она учитывает в однофононном приближении
взаимодействие экситонов со всеми колебаниями решетки кристалла. В общем
случае массовый оператор (60.16) является комплексной функцией
вещественных переменных ft и Е так, что можно написать
S(ft, ?)^s0(ft, E)-iT(k, Е), (60.18)
где
я (b F\ ^D4s,k){(ns+l)[E-i(k)-nQs] ns{E-(k)+hQs] ) ^7 2 I [?¦ - С (ft)
- jJ2 + ria, "Г" [?¦ - + J"
(60.19)
Г lb F\ - V °2 (s- J Tlfe+l) j__________^__________1
^ 2 + f [?_f(*)+"Qsls + ri*r
(60.20)
526 ТРИПЛЕТНЫЕ ЭКСИТОНЫ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. XII
Полюсы функции G(ft, Е) в равенстве (60.15) определяют в неявном виде
энергии элементарных возбуждений с помощью уравнения
? = "(ft) + S (ft, Ё). (60.21)
Таким образом, вещественные части энергий элементарных возбуждений для
каждого фиксированного значения ft определяются уравнением
?(ft) = e(ft)+|2Z)2(s- *) +
S
. k) \ (ns+l)[E (k) - ((k) - nas] . ns[E(k) - + 1
Li 2 l [?(А)-((А)-ЙЙ5]2 + 11а -t- fiQs]2+1]2[-
(60.22)
Если функция D(s, ft) отлична от нуля только для некоторого числа
дискретных значений то спектр элементарных возбуждений будет представлять
бесфононное возбуждение с энергией Ей{к) и однофононных спутников с
