Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
/ ~\ Ьш-Ет(0)
G,(Q, со) = г--------. г ,----, (59.16)
' [йа"_?г"?)] [Ат -^ ((c))] -W'f'
где величина Wf определяется уравнением
2 5j,(/)"5=W7G/(Q. S).
n - m
Согласно (58.31) спектральное распределение поглощения света определяется
функцией
В области частот На = Ет (<?). соответствующих образованию в кристалле
триплетных экситонов, вклад в поглощение от /-го виртуального синглетного
состояния определяется согласно (59.15) выражением
-ImG,(Q, й)- ,,v",m-%Tli)r + ("j + "v|y <59Л8>
Чем меньше отличается энергия виртуального синглетного уровня BSf (Q) от
энергии триплетного возбуждения, тем больший вклад вносит этот уровень в
вероятность образования триплетного возбуждения.
Для упрощения вычислений мы пренебрегли нарушением трансляционной
симметрии решетки из-за замены в узле /1 = 0 основной молекулы
парамагнитной примесью. Учет этого обстоятельства приведет к тому, что
светом будет возбуждаться не только
§ 60] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКСИТОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ 521
подуровень триплетной экситонной зоны с волновым вектором Q, но и другие
подуровни этой зоны. Однако общая вероятность возбуждения светом
триплетных экситонов при этом не изменится.
§ 60. Взаимодействие триплетных экситонов с колебаниями решетки
Взаимодействие триплетных экситонов с колебаниями решетки существенно
сказывается на их свойствах. В частности, оно определяет характер их
движения в кристалле. 'Теория этого явления рассматривалась рядом авторов
[404-406]. В этом параграфе мы изложим основные элементы теории на
примере кристаллов с одной молекулой в элементарной ячейке, уделяя
основное внимание рассмотрению взаимодействия с колебаниями решетки
электронных состояний с узкой экситонной зоной. Экси-тонную зону будем
называть узкой, если ее энергетическая ширина меньше средней энергии
теплового движения.
Запишем оператор энергии экситонов в узельном представлении
яех = 2 (<5пт + Мпт) ВпВт\ (60.1)
п, т
здесь ( - энергия невырожденного возбужденного состояния молекулы с
учетом статического взаимодействия с окружением; Мят -матричный элемент
обмена возбуждением между молекулами п и т; Вп, В" - операторы
возбужденных достояний на молекуле п. При малом числе возбуждений эти
операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям
[Вп, вт] = 0, [Вп, ??,] = 8"т. (60.2)
Оператор энергии колебаний решетки (без учета энергии нулевых колебаний)
tfvib = А 2 Qsbtbs (60.3)
S
выражается через операторы рождения bt и уничтожения bs фононов частоты
Q5, удовлетворяющие перестановочным соотношениям
[bs, bSl] = 0, [bs, &+] = 6И|.
Наконец, оператор взаимодействия экситонов и колебаний решетки в линейном
приближении по смещениям нормальных координат в простейшем случае можно
записать в виде
D пт (s) ВnBfn^se
s, п, rtt
(60.4)
522 ТРИПЛЕТНЫЕ ЭКСИТОНЫ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. XII
Здесь и ниже мы используем вспомогательные операторы фононов = (&* +
#), ns = y=(bt-bs), (60.5)
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
[ф$> fts,] = 6ss1> [ф5, ф5,] = [^'5) 3TSl] = 0. (60.6)
Характерной особенностью упрощенного оператора взаимодействия (60.4)
является то, что в идеальном кристалле он оЬисы-вает однофононные
процессы, при которых изменяется энергия свободного экситона, но не
меняется ег.о квазиимпульс. Такое упрощение допустимо для состояний с
узкими экситонными зонами.
Согласно общей теории запаздывающих двухвременных функций [407, 408] для
определения элементарных возбуждений в системе взаимодействующих частиц
достаточно вычислить фурье-образы временных запаздывающих гриновских
функций. Полюсы (?¦,) таких функций в комплексной плоскости энергий Ё
определяют энергию (Re?7) и затухание (-Imf,) элементарных возбуждений и
их зависимость от температуры.
Рассмотрим двухвременную запаздывающую гриновскую функцию операторов
электронных возбуждений молекул кристалла
"В"; = - 10 (/) Sp {р [Вп (/); Вр (0)]}, (60.7)
где
Вп (0 = ехр (iHt/h) Вп ехр (- iHt/h)
- гайзенберговское представление оператора с гамильтонианом полной
системы
Н = НехHvib + Hmf
Согласно уравнению (Д.4) математического дополнения фурье-образ
гриновской функции (60.7) по временной переменной
СО
Стр (Ё) Ей ((Вт- ВРУ)Е = ~ ((Вт; Bp))t dt, (60.8)
-СО
где Ё=Ь(о (со - со + iy, v^ + O) удовлетворяет уравнению Ё ((Вт\ В$))Ё =
[Вт, Bfi + (([Bm, Н\, ВР))~Е.
При учете явного вида Н получаем уравнение {Ё е) Gmp {Ё) = (*)+Е
Dmnh (s) Фт,р (s, Ё),
' ' nil s. я* 1
(60.9)
§ 60] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКСИТОНОВ С КОЛЕБАНИЯМИ РЕШЕТКИ 523
ГДб
Фmp(s> Ё) = ((Втф5; ВрУ)g
- фурье-образ гриновской функции от трех операторов Втф5 и Вр.
Уравнение для этой функции составляется также с помощью (Д.4). Получаем
{Ё Ё) = У, Мтт,Фт<0 (s,
тр (S,
(s) (,(.(PslBm1(fs'> Bp))g, (60.10)
s, m,
где Ump - новая гриновская функция от трех операторов nmp(s, Ё) = ((Втл5;
Bp))g.
С помощью (Д.4) находим уравнение и для нее
(?-")IW(s, ?) =
= У, Afmm,nm,p(s, ?)-j- 2 Dmmi (sl) ((fsnsBm,< Bp))g -
mt s,
2 Dmtm2 (s) ((BmBmtBmt', ВрУУ^ - Н^5Фтр (S). (60.11)
