Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
счет обменного взаимодействия с парамагнитной примесью) вероятности
возбуждения светом (через виртуальные синглетные возбуждения молекул)
триплетных экситонов.
Предположим, что в узле я = 0 простого кубического молекулярного
кристалла молекула основного вещества заменена парамагнитной молекулой
(атом, молекула 02 или N0 и т. д.), имеющей спин S0. Будем учитывать
только основное синглетное, первое триплетное и ряд синглетных
возбужденных состояний молекул кристалла. При наличии парамагнитной
примеси переход кристалла в триплетное возбужденное состояние под
действием света может осуществляться при одновременном изменении
ориентации спина примесной молекулы так, чтобы суммарный спин
возбужденного сЬстояния мцлекулы основного вещества и примеси остался
равным S0. Такое возбуждение ниже будем называть "парным".
Парному возбуждению можно сопоставить оператор уничтожения возбуждения
С"0 = [2S0 (S0 + 1)]- X
X [SoJ?" (S* = 1) + S-Bn (S' = -1) - ]/2 SlBn (S' = 0)] (59.1)
и эрмитово сопряженный к. нему С?0-оператор рождения возбуждения. Здесь
спиновые операторы S^, S7 и So (см. § 17), соответственно, увеличивающий,
уменьшающий на единицу и не изменяющий проекцию спина примеси на
выделенное направление квантования. В приближении малого числа
возбуждений
518
ТРИПЛЕТНЫЕ ЭКСИТОНЫ В КРИСТАЛЛАХ
[ГЛ. XII
операторы парных возбуждений удовлетворяют коммутационным соотношениям *)
[С"о, Сто]==^птя" [Сл(|! Сто] = 0. (59.2)
Оператор энергии парных возбуждений с учетом обменного взаимодействия
между триплетными возбуждениями можно записать в виде
Нт = 2EjCUCm + 2 MTnmCUCmo. (59.3)
ft ft, m
Здесь Ет - энергия триплётного возбуждения молекулы (изменение энергии
примесной молекулы при изменении проекции ее спина на единицу не
учитывается, так как оно значительно меньше энергии триплетных
возбуждений); Мтпт - матричный элемент обмена триплетным возбуждением
между молекулами л и т\ при этом МТпп - 0.
Наряду с парными возбуждениями учтем синглетные возбужденные состояния /
с отличными от нуля электрическими диполь-ными моментами переходов df.
Если пренебречь взаимодействием возбуждений, относящихся к разным /, то
оператор энергии синглетных возбуждений можно записать в виде
Н, = 2Es (/) Вп (/) Вп (/) 4- 2 М(tm) (/) вш (/) вп (/)• (59.4)
n,f. п, m
\
Здесь Вп (/) и Вп (/) - операторы рождения и уничтожения синглетного
возбуждения с энергией Es(f) на молекуле л с учетом статического влияния
окружения; Msnm (/) - матричный элемент обмена возбуждением / между
молекулами л и m, Msnn = 0. Вследствие отсутствия основной молекулы в
узле л в суммах (59.3) и (59.4) исключаются слагаемые с л = т = 0. Для
упрощения вычислений в дальнейшем это ограничение не будет учитываться.
Обменное взаимодействие между молекулами, находящимися в /-х синглетных
возбужденных состояниях, и примесной молекулой запишем в виде
Нjnt - У! [ WM (/) CUBn (Л 4-э. с.], U70q = 0, (59.5)
n,f
где Wпо пропорционально ]/S0(S0+l) и концентрации примеси. Мы
предполагаем для простоты, что примесь не искажает решетку кристалла и
может находиться с одинаковой вероятностью в любом месте кристалла.
*) При выводе этих коммутационных соотношений проведено усреднение по
значениям проекций спина примесной молекулы. Во всем последующем
изложении все соотношения относятся н таким усредненным величинам.
§ 59] ВЛИЯНИЕ ПАРАМАГНИТНЫХ ПРИМЕСЕЙ НА ВОЗБУЖДЕНИЕ 519
Для вычисления диэлектрической проницаемости (58.31) надо знать фурье-
образ
Gt(Q, (c))= 2] )"5"(/); (59.6)
п-~т
где
со = со + гу,
"Я, (/); Я* (fl"a = | ^ е'"' "5" (/)! (Я"< dt> (59-7)
по временной и пространственным переменным от запаздывающей функции Грина
"Я, (/); (/)", = -10 (0 <01 [5" (/, 0, В+т (/, 0)] | 0> (59.8)
операторов дипольных синглетных возбуждений. При этом
Вn(f, t)=ei^/'Bn(f)e-iHt^ (59.9)
- гайзенберговское представление оператора В (/) в системе с
гамильтонианом
tf = tfr + //s + tfint. (59.10)
Вычисление фурье-образа (59.7) по временной переменной можно выполнить,
используя уравнение (Д.6) приложения. Применяя (Д.6) к "В" (/); В(tm) (/)"-,
находим при п, тФ 0
[ft"-?j"B,(fl; BJ,(/)"s =
= 5^"г + Г*0"С""; В+"~. (59.11)
р
Применяя далее уравнение (Д.6) к фурье-образу "Сл0; 5т"щ, получаем второе
уравнение
[йсо - ?>] "Сл0; Вт))^=
= о; Bi,"s+vrM"B"; Bb"s.- (59.12)
р
После умножения уравнения (59.11) на ехр [/Q (п - т)] и суммирования по п
- т получаем
[ha-Esf(Q)] ? е'вс- >"fl"tf); BJ,(/)"5 =
п - т
= 1+ 2 е<в("-и)Йг*"С"о; (59.13)
п - т
где
?i/(Q) = ?i+ 2 М"ч"(/)ехр["Ч?(я-р)] (59.14)
я-p
- энергия синглетных экситонов в полосе /.
520 ТРИПЛЕТНЫЕ ЭКСИТОНЫ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. XII
Проведя аналогичное преобразование с уравнением (59.12), находим
2 ё^-^{[П^-Ет{0)\((Сп0; ^"~~
Я^(/)"5} = 0, (59.15)
Ет (<?) = ?>+ S Ml>mexp[/Q(/i-m)]
n - m
- энергия триплетных экситонов.
Уравнение (59.15) удовлетворяется, если
W
"с">;
Подставив это значение в (59.13) и учитывая (59.6), получаем
окончательное выражение
