Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
буждений с положительной и отрицательной эффективными массами при
значении oL/G - b0.
Рис. 67. Изменение энергии экситона при плоской локализации возбуждения в
трехмерном кристалле.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
429
§ 52. Экситон-фононное взаимодействие в ионных кристаллах
В ионных кристаллах бестоковые коллективные возбужденные состояния
называются экситонами Ванье - Мотта. Они представляют собой связанные
состояния электрона и дырки. Такие экситоны без учета взаимодействия с
колебаниями решетки были рассмотрены в § 43.
Исследуем теперь взаимодействие этих экситонов с колебаниями решетки
ионных кристаллов. Такое взаимодействие приводит к "истинному" поглощению
света экситонами, определяет форму полос поглощения и люминесценции и
существенным образом влияет на внутреннюю структуру экситонов. При
сильной экситон-фононной связи меняется значительно характер движения
экситона. Вследствие испускания и поглощения фононов изменяется волновой
вектор и энергия экситона и, следовательно, экси-тонные состояния
становятся нестационарными.
Как было показано в гл. III колебания решетки в ионных кристаллах
обладают рядом особенностей, связанных с наличием электрических зарядов у
ионов. В ионных кристаллах с большой диэлектрической проницаемостью
боровские радиусы экситонов значительно превышают постоянную решетки. Это
позволяет рассматривать экситон-фононное взаимодействие как независимое
взаимодействие электрона и дырки с фононами. В таком приближении
гамильтониан экситона, взаимодействующего с колебаниями решетки, можно
записать в виде
- гамильтониан свободных экситонов; те, mh, ге, гл, Ае и ДА,
- соответственно, эффективные массы, координаты и операторы Лапласа
электронов и дырок;
-оЛератор колебаний решетки; s нумерует ветви колебаний, q - волновой
вектор;
Н = Нех + //vib "Ь Hint,
(52.1)
где
(52.2)
r=re-rh
(52.3)
- относительная координата;
(52.4)
Fs [b*s+bt"- ^2(52-5>
s, q s
- оператор взаимодействия экситона с фононами. При этом
Fs(q) = we(s, q)elqre-wh(s, q)eiqrh, (52.6)
430
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. X
где we(s, д), wh(s, д) - функции (вид которых будет указан ниже),
характеризующие взаимодействие электрона и дырки с фононами ветви s.
Собственные значения и собственные функции оператора экситонов (52.2)
определяются выражениями (см § 43)
-энергия щели, и <ря (/*) - энергии и волновые функции внутренних
состояний экситона.
В частности, в основном внутреннем состоянии экситона Я = 0 и
где (д = - приведенная масса электрона и дырки,
- боровский радиус экситона.
Операторы (52.2) и (52.5) записаны в координатном представлении. Часто
надо знать их вид в представлении чисел заполнения по экситонным
состояниям k, X. Используя общее правило перехода (§ 21), введем
операторные функции
где Bit., Вкх - операторы рождения и уничтожения экситона в состоянии kX,
BixBkx - операторы чисел заполнения, имеющие собственные значения TV*?. =
0, 1, ... Тогда вид операторов (52.2) и (52.5) в представлении чисел
заполнения определится выражениями
Ны = <? I Hint \b=h Ц F%x (д) Bt+a, Я.В*. A (bgs ~ Ь±д. s),
(52.7а)
(52.8)
(52.7)
tк'ф?- ^ехр У v
V - объем кристалла;
1 т
¦- координата центра тяжести экситона;
m/e + mhrn " tn
(52.9)
(52.10)
тет^
ч (Г, р) =1] в*\к, ;А>,
(52.12)
Яех = | Яех | f > = ? ЕкВкВы, (52.13)
к. К
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
431
где
F& (?) = ^s) (?) /& (?) - ^ls) (?) /й (?), (я) = \ ^ е'V ^ (r) d3r'
IxX (я) = 5 ф1, (г) е'7л'гфд, (Г) d3r.
(52.15)
(52.16)
При значениях
(52.16а)
В частности, диагональные матричные элементы в основном внутреннем
состоянии экситона при условии qaex<Z.\ имеют простой вид
Таким образом, функции 1$ (q) и 1$ (q) являются фурье-образами
распределения плотности вероятности электронов и дырок в основном
внутреннем состоянии экситона.
52.1. Взаимодействие экситонов с акустическими фононами. Взаимодействие
экситонов с акустическими фононами рассматривалось Ансельмом и Фирсовым
[344]. В этом случае взаимодействия экситонов осуществляются только с
продольной ветвью акустических колебаний. Функции оДа> (?) при малых
значениях волновых векторов ? определяются деформационными потенциалами
где М - масса ионов в элементарной ячейке; N - число элементарных ячеек в
кристалле; ае и сгл - параметры, имеющие размерность энергии и
характеризующие интенсивность взаимодействия. Для многих неметаллических
кристаллов их значения лежат в интервале 1 - 10 эв. Таким образом, при
малых q функция F\,0) (?) = F$ (?) в (52.4) пропорциональна Y\q\ так же,
как и в случае взаимодействия с фононами молекулярных экситонов.
Экситон-фононное взаимодействие с акустическими колебаниями решетки
характеризуется безразмерным параметром
v - объем элементарной ячейки. Обычно 0е>-схл. Значение gaz равно 2-10 2
для кристаллов со значениями ае - сгля"5 эв; M/v^ 5 г/см3, т= 10~27 г,
са^5-105 см/с.
Экситон-фононное взаимодействие изменяет форму и положение экситонной
зоны и делает экситонные состояния нестационар-
