Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
|я"|2->ф2 (г). (51.35)
Тогда, используя равенство
У--- = ~Г [ ---d3r, v = cts, (51.36)
можно заменить сумму по п интегралом по объему Nv кристалла, где N -
число элементарных ячеек. Далее можно написать
426
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. X
где
L = - 2 М0а,
On
Е^?\ф <(r)d(r)r. (51.41)
- эффективная масса свободного экситона. В кубическом кристалле в
приближении ближайших соседей ширина экситонной зоны равна 2L, а
эффективная масса т* = h2/a?L.
С помощью выражений (51.35)-(51.37) функционал (51.34) преобразуется к
виду
¦ЧфИН-^ b$-L-D + У2]ф(г) d3r.
Nv
(51.39)
При этом согласно (51.28) и (51.32) можно написать
^ ф2 (г) d3r = 1, (51.40)
Nv '2v
Рассмотрим значение функционала (51.4) при однородном распределении
возбуждения по кристаллу (свободный экситон). В этом случае из условия
нормировки (51.40) следует ф (/*) = = N~1/2. Подставив это значение в
(51.39), находим
/ (/V-'/2) = SM-\-D - L - G (2N)-1. (51.42)
В этом состоянии происходит однородная деформация решетки. Ее постоянная
согласно (51.25) и (51.29) уменьшается на величину sD/2waN,
которая стремится к нулю при N ->оо.
Найдем экстремум функционала (51.39) для сферически симметричных
состояний, используя в качестве пробной функции
Ф eh 1(7^ л,)' (51.43)
где ? - вариационный параметр, имеющий размерность, обратную длине. Из
условия нормировки следует, что А2 = Зуц2л~3. Далее, используя тождество
^ фУ2ф d3r = - \ (УФ)2 d3r,
учитывая (51.41) и равенство La? = преобразуем функцио-
нал (51.39) к виду
00 00
J &) = A%-L-D-~ J Ф4(г) r*dr + 2-^^ (УФ)2 г2dr.
о о
ДЕФОРМАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНОГО КРИСТАЛЛА
427
Подставив в это выражение значение (51.43) и проведя вычисления
интегралов, получаем
Jd)-(AS-L-D):
я2 + 12 6я2
aVL ¦
a%3G
- 0,013a3?3G.
?l = 0 и l2:
(51.45)
я5
^0,37a2E2L-0,013a3?3G. (51.44)
При положительной эффективной массе экситона (L>0) экстремальные значения
этого функционала соответствуют двум значениям
яа (я2+12)1 ^ 19L 9 (я2 - 6) aG ^ aG
Значение Ei = О относится к однородному распределению возбуждения по
бесконечному кристаллу. Естественно, что энергия такого возбуждения
E1 = J(l1) = AS-L-D (51.46)
совпадает с энергией свободного экситона у дна экситонной зоны (.k = Q).
Значение g2 соответствует локализации возбуждения в сфере радиуса
Р я ____ aG
~ I9L'
Энергия такого возбуждения я4 (л2+ 12)3 L3
?¦2 - J (?2) - Ег
1458 (л2-6)2 G2
Е, + 44^ (51.47)
Рис. 66. Изменение энергии экситона при сферически симметричной
локализации в трехмерном кристалле.
выше энергии (51.46). Таким образом, сферически симметричная локализация
возбуждения энергетически невыгодна. Однако при возрастании I, начиная со
значения g2, энергия возбуждения понижается. Локализация с большими
значениями | (малые R) становится выгодной. Переход от однородно
распределенного возбуждения к сферически симметричному локализованному
требует энергии активации (энергетический барьер). Следует, конечно,
иметь в виду, что при возрастании g конти-, нуальное приближение,
используемое нами, теряет смысл.
В случае экситонов с отрицательной эффективной массой энергия возбуждения
убывает при возрастании ?>0. Следовательно, локализация возбуждения
всегда энергетически выгодна. Полученные результаты иллюстрирует рис. 66,
на котором изо-
" ^ лГ/ " ,n3J(l)-(A%-L-D)
бражена зависимость функции Ф(а?) = 1(г '-----------
безразмерной величины а\ при значении G/|L|=100.
\L\
ОТ
428
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. X
Энергетическая невыгодность сферически симметричной локализации
возбуждения в изотропном кристалле не исключает возможности локализации
возбуждения другой симметрии. Рассмотрим в качестве примера возможность
локализации возбуждения в параллельных плоскостях. При этом для
исследования значения функционала (51.39) выберем пробную функцию в виде
^ У' ^'аг^дог <51-48)
Предположим далее, что кристалл имеет форму цилиндра с площадью основания
а2а и бесконечной высотой, вдоль которой
направлена ось х координатной системы. Тогда из условия нормировки
(51.40) находим A2 = va/2a. При этом функционал (51.39) принимает
значение
J (v) = АШ - D - L - ^ +ivVL.
(51.49)
При положительных эффективных массах экситона (L > 0) экстремальные
значения функционала (51.47) соответствуют
vx = 0, v2 - G/2aaL, (51.50)
Величина ji/v2 = 2лаЬ/G определяет "толщину" плоского слоя кристалла, в
котором сосредоточено электронное возбуждение и деформирована решетка.
Локализация возбуждения энергетически выгодна, так как при значении v2
энергия кристалла с локальным возбуждением
J (v2) = AS - D - L - G2/24ff2L
меньше энергии AS - D - L возбуждения свободных экситонов. Однако при
большой площади (большое а), охваченной возбуждением, это уменьшение
мало.
При отрицательной эффективной массе экситона свободное состояние экситона
является неустойчивым.
Проведенные расчеты иллюстрирует рис. 67, на котором изо-
л/ \ /(v)-(Ag'-D-L)
бражена функция CP(va) = ---------------- для экситонных воз-