Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве, широко используется понятие обратной решетки в трехмерном
абстрактном пространстве волновых векторов k. Это пространство ниже мы
будем называть к-пространством. Волновые векторы имеют размерность
обратной длины. Обратная решетка кристалла в Л-пространстве представляет
собой бесконечную совокупность точек, определяемых векторами обратной
решетки
tl - fliGLi -j- И2@2 "Ь п3а3/
(2.9)
Рис. 4. Ячейка Вигнера - Зейтца в объемноцентрированной кубической
решетке.
Рис. 5. Ячейка Вигнера - Зейтца в гранецентрированной кубической решетке.
§ 3. Обратная решетка кристаллов
з
(3.1)
где gi - целые числа 0, ± 1, ±2, ..., a bt - элементарные векторы
обратной решетки, связанные с векторами at основных трансляций
18 СИММЕТРИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
в прямой решетке с помощью равенств
*1 = ^[йгСз], ь2=~[ааа1], &з = ^[оааа]; (3.2)
v = ах [а2а3] - объем элементарной ячейку прямой решетку. Из
(3.2) непосредственно следует, что выполняются равенства
ciib[ - 2л8ц.
(3.3)
Элементарные векторы Ь, обратной решетки образуют параллелепипед основной
ячейки обратной решетки. Его объем
. (2л)3
bi[b2b3]
(3.4)
Параллелепипед основной ячейки обратной решетки так же, как
и примитивная ячейка основной решетки, часто не отражает
свойств симметрии решетки. Поэтому обычно вместо него
выбирают ячейку в виде мно-
гогранника, грани которого являются плоскостями, проходящими через
середины линий (гГерпендикуярно к ним), соединяющих точк^Л = 0 с
ближайшими узлами обратной решетки. Такая ячейка называется первой зоной
Бриллюэна, или просто зоной Бриллюэна.
В качестве примера рассмотрим зоны Бриллюэна для некоторых обратных
решеток.
А. Простая кубическая решетка с векторами основных трансляций ах, ау,
Обратная решетка характеризуется
Рис.
6. Зона Бриллюэна простой кубической решетки.
аи
(! ох
элементарными
= \az\=a). векторами
Ьх =
2я
и,
2л
= --г а
У'
и 2я
(3.5)
Зона Бриллюэна, следовательно, представляет собой куб с ребром 2я/а,
изображенный на рис. 6.
Б. Гранецентрированная кубическая решетка. С помощью (2.8) и (3.2)
находим
{az -ау-\-ах), Ь3 - -^(ах~^аг-\-ау).
(3.6)
Ьг
2л ,
= 7# (ау'
'Ял--)-й!г), Ь> - (flz Qy~b^jc), b3
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ТРАНСЛЯЦИИ
19
Сравнивая полученные выражения с (2.5) мы убедимся, что они с точностью
до множителя 4я/а2 совпадают с векторами основных трансляций
объемноцентрированной кубической решетки. Следовательно, зона Бриллюэна
гранецентрированной кубической решетки имеет такую же форму, как и ячейка
Вигнера -Зейтца объемноцентрированной кубической' решетки (см. рис. 4).
Она представляет собой усеченный октаэдр, квадратные грани которого лежат
в плоскостях kx, ky, kz - ±n/а, а шестиугольные - в плоскостях kx, ky, kz
- ±3n/2а.
В. Объемно цент р и р о ва н н а я кубическая решетка. С помощью (2.5)
и (3.2)-находим
*1 = 5 ("* + ",), Ь2 = ~(ах + аг), ba=~(au + ax). (3.7)
Следовательно, зона Бриллюэна объемноцентрированной кубической решетки
имеет такую же форму, как и ячейка Вигнера - Зейтца гранецентрированной
кубической решетки (см. рис. 5).
Г. Гексагональная решетка. Векторами основных трансляций являются два
вектора ai и я2 равной длины, расположенных под углом 120° друг к другу.
Третий вектор а3 имеет произвольную длину и перпендикулярен первым двум.
Зона Бриллюэна представляет собой гексагональную призму.
Д. Решетка типа алмаза. Векторы основных трансляций совпадают с
полудиагоналями граней куба, т. е.
. "1 = Va(ах + а"), = Vj ("* + "*). (h = 1/a(at + ax).
Зона Бриллюэна представляет собой усеченный восьмигранник, т. е,
совпадает с соответствующей зоной гранецентрированной решетки. Кремний
также обладает решеткой типа алмаза. Эту решетку можно рассматривать. как
двухатомную гранецентри-рованную.
§ 4. Собственные значения и собственные функции оператора трансляции
Строгую трансляционную симметрию имеет только идеальный кристалл
бесконечных размеров. Все реальные кристаллы конечны. Наличие граничных
поверхностей нарушает трансляционную симметрию. Если линейные размеры
кристалла достаточно велики по сравнению со средней длиной- векторов
основных трансляций (10~8- 10 7 см), то при исследовании объемных свойств
можно не учитывать влияние поверхности. Тогда удобно ввести специальные
граничные условия на поверхности кристалла, при которых сохраняется
трансляционная инвариантность.
В качестве таких граничных условий принимают циклические граничные
условия, которые обычно называют условиями Борна -
20 СИММЕТРИЯ И СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
\
Кармана. Чтобы ввести эти граничные условия, рассмотрим кристалл в виде
параллелепипеда с ребрами Ыфъ N2a2, Nsa3, где Nlt N2, N3 - большие числа,
аи а2, а3 - основные векторы трансляций. Предположим, что к этому
основному кристаллу приставлено вплотную друг к другу бесконечное число
таких же самых кристаллов, тогда трансляции любой точки основного
кристалла на векторы Niab N2a2, N3a3 будут переводить ее в
