Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
решетки. В случае же гексагональной структуры примитивная ячейка не
обладает гексагональной структурой.
Можно, однако, построить элементарную ячейку кристалла, обладающую
симметрией решетки Браве. Эта элементарная ячейка называется симметричной
или элементарной ячейкой Вигнера - Зейщца. Она представляет собой объем
кристалла, ограниченный плоскостями, которые делят пополам и
перпендикулярнь^ линиям, соединяющим один узел решетки со всеми
близлежащими.
На рис. 3 изображена ячейка Вигнера - Зейтца и примитивная ячейка в
двумерной гексагональной решетке. Легко убедиться, что объемы всех
примитивных ячеек и ячейки Вигнера - Зейтца одинаковы.
В кристаллографии часто используют другое определение элементарной ячейки
кристалла, при котором основное внимание обращается на отражение свойств
симметрии. Именно, элементарную ячейку определяют как наименьший объем,
ограниченный векторами основных трансляций и обладающий точечной симмет-
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА КРИСТАЛЛОВ
15
рией данного кристалла. Такую "элементарную" ячейку будем называть
кристаллографической. В качестве примера рассмотрим кристаллы кубической
сингонии. К ним относятся три решетки Браве: 1) простая кубическая; 2)
объемноцентрированная кубическая и 3) гранецентрированная кубическая.
В простой кубической решетке атомы расположены в вершинах куба. Каждый
атом имеет шесть ближайших соседей. Такая
структура в некоторой области температур известна только у одного
элемента - полония. Векторы решетки определяются равенством
п = пхах + ПуОу + п.а,, (2.2) tii - целые числа; ах, а
у>
о
0)
где
аг~ взаимно перпендикулярные векторы основных трансляций, имеющие равную
длину, т.е. \Лх\~\щ\ = \аг \ -а. Элементарная ячейка в этом случае
Рис. 2. Различный выбор примитивных ячеек в гексагональной (а) и
квадратной (б) плоских решетках.
Рис. 3. Ячейка Вигнера - Зейтца (а) и примитивная ячейка (б) в двумерной
гексагональной структуре.
совпадает с кристаллографической, с примитивной и с ячейкой Вагнера -
Зейтца. Элементарная ячейка имеет объем у = а3 и содержит один атом.
Кубическую решетку имеют двухатомные кристаллы типа CsCl, CuZn. Положение
ионов в таких решетках определяется вектором решетки п с базисными
векторами
рд = 0, рв = Х/г (Од:-)-йу-f-°г)>
характеризующими положение ионов А и В.
16
СИММЕТРИЯ и СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. I
В объемноцентрированной кубической решетке кристаллографическая
элементарная ячейка также имеет форму куба с ребром а и содержит два
одинаковых атома: один в вершине куба, а второй в его центре. На долю
каждого атома приходится объем v = 112а3. Положение атомов в этой решетке
определяется векторами
п-\- ра, (2.3)
где а=1, 2; вектор решетки п задан выражением (2.2), а базисные векторы
равны
Pi = 0, P2 = V2 (ах + ау + аг). (2.4)
Объемноцентрированную кубическую решетку можно рассматривать как
кубическую решетку Браве с базисом (2.4), либо как две вставленные друг в
друга простые кубические решетки. Каждый атом в этой решетке окружен
восемью соседями.
Примитивная ячейка этой решетки естественно содержит только один атом.
Она является параллелепипедом, образованным векторами основных трансляций
ai=Va(-а*+а"+аг), аг=хи (ах-ау+аг), аз = 1/1(ах + ау-аг).
(2.5)
Положение всех атомов в объемноцентрированной кубической решетке
определяется векторами решетки
п = п1а1 + п2а2 + п3а3, (2.6)
где щ - целые числа. Если tii + п2 + п3 - четное число, то выражение
(2.6) определяет вершины кубов, если нечетное, то -их центры. Объем
примитивной ячейки v = 1l2a3. Элементарная ячейка Вигнера -Зейтца
(симметричная ячейка) этой решетки представляет собой сложный
многогранник (усеченный октаэдр), образованный гексагональными и
квадратными гранями (рис. 4).
В гранецентрированной кубической решетке кристаллографическая
элементарная ячейка имеет форму куба с ребром а и содержит четыре
одинаковых атома. Атомы в решетке располагаются в вершинах куба и в
центрах боковых граней. На долю каждого атома приходится объем v=1/i а3.
Положение атомов в этой решетке определяется векторами
Я + Ра>
где а=1, 2, 3, 4; вектор решетки п определен выражением (2.2); базисные
векторы
Pi = 0, р2 = 1/з {о,у-\-аг), ~
Рз = Va (flx + О,г), р4 = Va (Я* + Яу),
§ 3]
ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА КРИСТАЛЛОВ
17
Гранецентрированную кубическую решетку можно рассматривать как решетку
Браве с базисом (2.7), или как четыре вставленные друг в друга простые
кубические решетки. Каждый атом в этой решетке окружен 12 соседями.
Примитивная ячейка этой решетки является параллелепипедом, образованным
векторами основных трансляций
в1 = 1/я(вв + а,), Ог = г1г(ах-\-аг)ъ а3 = 1/2(ах + ау). (2.8) Положение
атомов в решетке определяется векторами решетки
Объем примитивной ячейки v = V4а3. Элементарная симметричная
ячейка представляет собой сложный многогранник (ромбододекаэдр),
изображенный на рис* 5. Гранецентрированные решетки образуют атомы Са,
Си, РЬ и др.
В теории твердого тела, кроме понятия пространственной решетки в обычном
