Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Свойства инвариантности и законы сохранения
В начале главы я упомянул о взаимосвязи, существующей между свойствами инвариантности теории и законами сохранения, связанными с этой теорией. Такая взаимосвязь выявляется при использовании теоремы
Принципы относительности и роль координат в физике 317
Нётер [3]. Обыкновенно результаты теоремы Нётер даются в двух частях. Одна часть используется в случае р-параметрической группы Ли, а другая — в случае групп преобразований, зависящих от q произвольных функций пространственных и временной координат. В сущности оба случая не очень сильно различаются, что показано Бергманом [13], так как любая группа второго рода содержит бесконечное множество однопараметрических подгрупп, образованных всевозможными системами q функций.
Теорема Нётер состоит в следующем. Пусть дана теория, обладающая группой относительности (в том смысле, в каком мы пользовались этим термином), являющейся р-параметрическй группой Ли Gp, причем уравнения движения для переменных поля уА следуют из вариационного принципа. Если Ei (і= 1, 2, ..., р) — параметры группы Gp, то существует набор величин # ([і= 1, 2, 3, 4), удовлетворяющих уравнениям непрерывности вида
= 0 (24)
при условии, что выполнены уравнения движения для переменных поля. Этот результат имеет место лишь в том случае, если группа Gv является истинной группой относительности, связанной с принципом относительности, а не возникает в результате введения е теорию абсолютных элементов. Таким образом, хотя группа общих преобразований координат и содержит бесконечное множество однопараметрических групп Ли, они, вообще говоря, не приводят к уравнениям непрерывности вида (24), если метрика является абсолютным элементом теории. В частно релятивистских теориях к уравнениям непрерывности приводит только группа Лоренца, и тогда уравнения (24) выражают закон сохранения для тензора энергии — импульса — натяжений.
Как я уже говорил, дифференциальные законы сохранения (24) удовлетворяются лишь решениями уравнений движения, и поэтому их иногда называют слабыми законами. Если в теории существует группа относительности, преобразования которой зависят от набора произвольных функций точки пространства — времени, и если
318
Глава 9
эта группа включает Gv в качестве подгруппы, то законы сохранения, связанные с Gp, могут быть расширены и приведут к сильным законам, «выполняющимся
вне зависимости от того, удовлетворяются ли уравнения движения. Такие законы имеют вид
0^ = 0. (25)
Как следствие отсюда можно вывести существование системы суперпотенциалов UV, обладающих свойствами
0? = U4% (26)
UV = -UT- (27)
В случае электродинамики суперпотенциалами являются просто FpaI, где |— некоторая произвольная функция точки в пространстве — времени. Ввиду этого там существует бесконечное множество законов сохранения
0^ = 0, (28)
где
^ = (ПЬ. (29)
В настоящее время из всех этих законов сохранения простую интерпретацию получил лишь один, а именно в случае |=1. Тогда, если удовлетворяются уравнения поля (уравнения движения) 0^=/^ мы приходим к обычному уравнению непрерывности для четырехмерного вектора плотности тока. Члены, фигурирующие в других вариантах 0, удается интерпретировать как высшие электрические и магнитные моменты распределения зарядов, однако неясно, могут ли они оказаться полезными.
В случае общей теории относительности опять имеется бесконечное множество суперпотенциалов, которые в свою очередь дают соответствующее множество уравнений непрерывности. Эти суперпотенциалы на деле можно выписывать по-разному, добавляя к ним величины,
Принципы относительности и роль координат в физике 319
антисимметричные по двум верхним индексам. Одна из систем суперпотенциалов имеет вид
и-=(1&. /=гг' &11 (* (*-у - лг)).» ?¦ (ад
где Iа* — четыре произвольные функции точки в пространстве— времени. Эти суперпотенциалы можно опять использовать в целях построения сохраняющихся токов Qm-=CZjaV. Придавая в некоторой системе координат каждой компоненте по очереди единичное значение, а остальным компонентам нулевое, мы получаем четыре уравнения непрерывности
e?fV=o, (Зі)
где
Є& = /2+7^. (32)
Здесь T^t — тензор энергии — импульса — натяжений, обусловленный полями вещества и пр., a ^ — эйнштейновский псевдотензор энергии — импульса — натяжений1). Псевдотензор $ обычно толкуют как относящийся к гравитационному полю. Однако он преобразуется при произвольных преобразованиях координат, не как тензорная плотность и даже не как геометрический объект. Это обстоятельство привело к бесконечным дискуссиям
о роли и смысле энергии в общей теории относительности2). К настоящему времени более или менее выяснилось, что любая попытка отобрать из бесконечного множества уравнений непрерывности, следующих из суперпотенциалов UMv [выражение (30)], именно ту четверку, которая описывает сохранение энергии и импульса, обречена на неудачу. Это возможно лишь в тех чрезвычайно частных случаях, когда метрика допускает группу движений [14]. Существенно, что в общей теории относительности группа относительности всех преобразований
