Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
= (18)
где T^v— тензор энергии — импульса, относящийся к другим полям и частицам, рассматриваемым в теории.
Как в случае электромагнетизма, так и в случае гравитации различие между такими двумя путями обобщения теории очевидно. В том случае, когда мы используем уравнения (10) для метрики или уравнения (15) для Avil, эти переменные не являются динамическими объектами, какими они являются в случае использования уравнений (17) и (18). В первом случае их нахождение никак не связано с другими физическими объектами теории, в последнем же случае это совсем иначе.
Чтобы эти различия проявились еще резче, я хогел бы ввести деление всех элементов, фигурирующих в физической теории, на два разных типа — на абсолютные и на динамические элементы. Такое деление вполне себя оправдает, поскольку для определения принципа относи-
312
Глава 9
тельности, действующего в данной теории, мы будем пользоваться ее абсолютными элементами. Прежде всего укажем, как можно определить эти абсолютные элементы теории.
Допустим, что теория записана в виде системы функциональных соотношений
(Уа) = 0 (19)
между независимыми переменными, входящими в эту теорию. Кроме того, допустим, что с уравнениями (19) связана конкретная трансформационная группа ковариантности. Рассмотрим теперь все инвариантные функции, которые могут быть построены из различных подсистем переменных уА• Под инвариантной функцией понимается такая функция, величина которой не зависит от выбора калибровки или системы координат. В электродинамике инвариантными функциями являются F^. В случае группы всех криволинейных координатных преобразований общей теории относительности построение инвариантов более затруднительно. Сама по себе переменная скалярного поля в этом смысле не является инвариантом. Она станет инвариантом, лишь если мы найдем инвариантный способ определения той точки, в которой взято значение этого скаляра. Если значения инвариантных функций, построенных из данной подсистемы, определяются однозначно на основании уравнений (19), и только уравнений (19) (т. е. не привлекаются остальные переменные уА> граничные условия, начальные условия и пр.), то те переменные у а, которые образовали эту подсистему, составляют абсолютный элемент теории. Конечно, сами переменные уА> вообще говоря, не должны быть инвариантными относительно группы ковариантности.
Выявить абсолютные элементы не так трудно, как это кажется поначалу. Чтобы убедиться в том, что некоторая подсистема образует абсолютный элемент, достаточно всего лишь построить в худшем случае столько независимых инвариантов, сколько переменных образуют рассматриваемую подсистему. Если все они определяются однозначно, то любой другой инвариант, построенный для этой подсистемы, будет также определен однознач-
Принципы относительности и роль координат в физике 313
но, ибо он будет функцией первоначально взятых инвариантов. Более того, в конкретной теории обычно бывает совершенно очевидно, какие подсистемы образуют инвариантные элементы.
В той теории, в которой Fjiv=O, компоненты Avi определяются однозначно (с точностью до калибровочного преобразования), а поэтому определяется однозначно и любой инвариант, построенный из них. Таким образом, они образуют абсолютный элемент. Они не образуют абсолютного элемента, если считать, что выполняются обычные уравнения Максвелла (17), так как потенциал All определяется из уравнений Максвелла лишь при задании источников (плотности токов) и граничных условий в дополнение к известной калибровке. Подобным же образом если /?^ра =0, то gVv представляет собой абсолютный объект, так как определяется однозначно с точностью до произвольного преобразования координат. Совсем другое дело, когда считается, что метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна (18).
Другим примером теории, содержащей абсолютные элементы, является теория, предложенная в качестве альтернативной теории гравитации в первые годы существования теории относительности. Метрика в ней считается удовлетворяющей уравнениям
Cjtvpa == 0, (20)
причем
R = 0. (21)
Здесь Cnvpa- тензор конформной кривизны, или тензор Вейля, построенный из метрики и ее первых двух производных, а R — скалярная кривизна. Можно показать, что всякая метрика, удовлетворяющая уравнениям (20), является конформно плоской, т. е. ее можно путем преобразования координат привести к виду
= (22)
где y(x)—произвольная функция точки в пространстве— времени1). Эта функция определяется из уравне-
1) Если число измерений пространства {*°}>3. —¦ Прим. ред.
314
Глава 9
ния (21) при наложении граничных и начальных условий. Теория Вейля содержит сферически симметричное статическое решение типа Шварцшильда, однако приводит к неправильному значению поворота перигелия Меркурия. Введя новые переменные (У— g)~Vagnv и V~g'
мы обнаружим, что (Vr=rS)'1' 2gn\ образуют абсолютный элемент. Любопытно, что единственными общековариант-ными локальными уравнениями второго порядка, подчинения которым можно требовать от метрики, являются уравнения (20) и (21), уравнения Эйнштейна (18) и уравнения для плоского мира (10).
