Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
F1 = ф.і. (3)
Весьма интересно, что подобного рода взаимодействие скалярного поля с релятивистски описываемой частицей возможно лишь в том случае, если масса частицы является функцией нашего скаляра. Это вытекает из следующих физических соображений. Три пространственные компоненты импульса частицы, взаимодействующей со скалярным полем, должны изменяться в собственном времени в соответствии с уравнением
?p.-F.-%r (4)
Компоненты ф, а представляют собой производные скалярного потенциала по пространственным координатам, a Pa—соответствующие компоненты импульса.
Рассмотрим теперь соответствующее четырехвекторное уравнение для того частного случая, когда скалярное поле является статическим, а система координат — стационарной, так что отличны от нуля лишь пространственные компоненты градиента. Тогда скорость изменения нашего скаляра во времени равна нулю:
Ф, 4 = 0, (5)
а это значит, что энергия частицы постоянна [см. уравнение (4)] и равна
Vl — v*/c3 к '
С другой стороны, из уравнения (4) вытекает, что если производные скаляра по пространственным коорДинатам отличны от нуля, то частица испытывает ускорение. Получается, что скорость частицы изменяется, тогда как ее кинетическая энергия остается постоянной. Следовательно, уравнения (5) и (6) могут удовлетворяться лишь
Многоликий Max
237
в том случае, когда меняется масса частицы. Этот вывод представляется весьма общим. Взаимодействие скалярного поля с частицей приводит к тому, что масса частицы изменяется, становясь функцией этого скалярного поля.
Заметим, например, что вариационный принцип, из которого следуют уравнения движения при скалярном взаимодействии, очевидно таков:
0 = 6 J ?— Tna1Ui -J- ср] dx. (7)
Здесь и1—четырехмерная скорость, а т—масса частицы (полагаемая постоянной); ср — скалярный потенциал. Однако получаемое из этого вариационного принципа эйлеровское уравнение движения
|-(тиг) = ф>г (8)
некорректно. Чтобы показать это, умножим его на и1 и воспользуемся соотношением
UiUi = -1. (9)
Если к тому же предположить, что масса постоянна, мы получим равенства
и1(MUl) = -(MU1Ui) = -YW' (10>
и1 -?¦ (Wil) = U1V' і = 77.
откуда
J_ dm __ dy
Ho уравнение (11) несовместимо с предположением о постоянстве массы. Чтобы правильно сформулировать вариационный принцип, который не противоречил бы соотношению (9), нужно отбросить предположение о постоянстве массы и производить варьирование, накладывая соотношение (9) в качестве связи. Или же можно исходить из вариационного принципа
0 =6 jm Y-UiUidx. (12)
238
Глава 7
И в том и в другом случае уравнение движения имеет вид
<13)
причем масса частицы является функцией скалярного поля.
У скалярного поля имеются и другие любопытные свойства. Будучи бозонным полем, оно допускает простое суммирование всех воздействий со стороны вещества, находящегося на больших расстояниях. Представим себе следующее упрощенное уравнение — подобие волнового уравнения для скалярного поля. Источником поля должна быть некая скалярная мера плотности массы во Вселенной р, помноженная на константу 'взаимодействия А:
? <p = V2<p — = - 4яЛр. (14)
Воспользуемся моделью Вселенной в виде одной оболочки массы M и радиуса R. Используя граничное условие, согласно которому ср стремится к нулю при неограниченном увеличении Rt получим решение уравнения (14) в виде
Ф = Л^- (15)
для внутренней части массивной оболочки.
Нужно признать, что эти уравнения чрезмерно упрощены. Здесь не учтены эффекты искривленности пространства, а плотность вещества р как следует не определена. Поскольку потенциал <р является скаляром, должна быть скаляром и плотность вещества, так что подходящей мерой для нее может служить след тензора энергии импульса материи1). Интересно, что из теоремы
1J Как обычно (порок терминологии), под «тензором энергии — импульса материи» следует понимать симметричный тензор энергии— импульса — натяжений вещества и всех полей за исключением гравитационного (которое также по ряду соображений следует причислить к материи в самом общем смысле этого слова). — Прим. пврев.
Многоликий Max
239
вириала следует равенство усредненного по времени интеграла по стационарно-локализованному телу от следа тензора энергии — импульса полной энергии этого тела. Поэтому, как и в случае гравитационного поля, скалярное поле в основном определяется полной массой тела при тех же самых условиях, когда существенна и гравитация. Рассматривая взаимодействие близких друг к другу материальных объектов через скалярное поле, мы видим, что скалярный потенциал должен содержать два слагаемых: одно, зависящее от массы вещества, лежащего вблизи, а другое — от массы вещества, находящегося на больших расстояниях.
Другим интересным свойством скалярного взаимодействия является то, что оно ведет к взаимному притяжению двух кусков вещества. К тому же сила (интенсивность) этого взаимодействия имеет тот же порядок, что и сила гравитационного взаимодействия. Получить с помощью скалярного поля сильное взаимодействие весьма трудно по той причине, что суммарное влияние всего вещества во Вселенной слишком велико по сравнению с действием близлежащего объекта. Слагаемое, соответствующее действию удаленного вещества, создает такой высокий фон, что действие близлежащего вещества теряется на нем и дает лишь слабый эффект. Независимо от способов конкретизации теории и от предположений о силе связи для нашего скаляра можно показать, что сила взаимодействия с ним фактически оказывается той же, что и для гравитационного взаимодействия, ну, может быть, с точностью до одного порядка величины [13].
