Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Принцип ковариантности
Этот принцип гласит: «Общие законы природы должны описываться уравнениями, справедливыми во всех системах координат, т. ,е. ковариантными относительно любых замен вообще (общековариант.ными)» [1].
Существуют два понимания этого принципа.
1. Этот принцип можно толковать как утверждение о том, что система координат это просто выбранная нами сетка координатных линий в пространстве и времени, пересечения которых определяют положения событий. Поэтому выбор системы координат не имеет никакого отношения к содержанию теории. Таков ограниченный смысл ковариантности, и это в некотором роде бессодержательное утверждение, так как любая физическая теория может быть сформулирована общековариантным
2*
20
Введение
образом без какого-либо углубления ее физического содержания. Например, уравнения Максвелла могут быть записаны в форме, представляющейся общековариант-ной [гл. 11, уравнение (34], но при этом их физическое содержание не расширится, пока метрика ограничивается случаем плоского пространства. К тому же мы всегда можем вернуться к обычным диагональным лоренцовым значениям метрики, просто произведя соответствующее преобразование координат. В этом ограниченном смысле все законы физики могут быть представлены в кова-риантном виде без введения в них какого бы то ни было нового физического содержания, и поэтому принцип ковариантности в такой трактовке является бессодержательным утверждением.
2. Когда Эйнштейн формулировал принцип ковариантности, он имел в виду совершенно иное (гл. 9). Именно, он подразумевал, что законы природы это геометрические утверждения относительно физических объектов и что такие законы должны сохранять свою силу в пространствах с произвольными геометриями. В полностью геометризированной теории геометрия конкретизируется на основании самой теории, а не дана априори (как абсолютный элемент). Например, в случае уравнений Эйнштейна геометрия определяется на основании полевых уравнений, тогда как в частной теории относительности на геометрию наложены априорные ограничения, соответствующие лоренц-инвариантности.
Во всех известных выражениях законов физики используются геометрические образы и представления. Возможно, что геометрические представления настолько глубоко проникли в наше сознание, что мы не в состоянии мыслить иных описаний физических теорий. Мы хотим подчеркнуть здесь два разных пути: либо используемая в теории геометрия задается априори (как это имеет место в случае плоского пространства, принятого в большинстве физических теорий), либо она определяется самой теорией. В случае когда геометрия задана априори, она образует абсолютный элемент теории, и •все законы физики, записывающиеся в геометрической форме, лишь дают связь между различными геометрическими объектами, но самой геометрии не определяют. До
Введение
21
настоящего времени единственной теорией, определяющей геометрию, является теория относительности.
Более того, не существует такой микроскопической теории, которая была бы успешно сформулирована в форме, приложимой к пространствам с произвольной геометрией. Микроскопические законы природы обычно действуют в малых областях — порядка IO-8 см (атомы) или IO"13 см (ядра или фундаментальные частицы). Всегда можно перейти к такой системе координат, в которой метрика является локально плоской и гравитационные эффекты отсутствуют, если только кривизна не меняется в пространстве так резко, что ее изменения становятся существенными уже на таких малых расстояниях. Поэтому может оказаться излишним требовать, чтобы законы физики, описывающие явления микромира, были применимы в пространствах с произвольной геометрией 1J.
Кроме того, требование ковариантности приводит к дополнительным усложнениям (гл. 9). Решения уравнений поля Эйнштейна должны допускать применение произвольных преобразований координат, чтобы быть общековариантными. Это отражает факт существования четырех тождеств, наложенных на десять уравнений поля (гл. 4), а именно законов сохранения энергии и импульса, выраженных в виде
7?v = 0. (1)
Итак, из десяти уравнений Эйнштейна для десяти неизвестных компонент метрики независимы лишь шесть. Поэтому теория автоматически допускает произвольные преобразования координат2).
!) Такое заключение, однако, недействительно в случае неевклидовой топологии пространства — времени [6].
2) «Истинное» гравитационное поле определяется «риманово-стью» пространственно-временного континуума, т. е. наличием не равного нулю тензора кривизны, так что никаким преобразованием координат ни локально, ни даже в точке обратить его в нуль нельзя, потому что это тензор, и поэтому нельзя «убрать» поля; то, что четыре компоненты #ар можно брать как наперед заданные функции, есть следствие известной теоремы Римана и не связано с тождествами для Tllyj. — Прим. ред.
22
Введение
Для данной системы уравнений нельзя, однако, получить определенных решений, не задавая дополнительно четверки уравнений. Эти четыре уравнения известны как координатные условия. По отношению к уже полученному решению должна существовать возможность перевести его в любую другую систему координат, совместную с данной геометрией. Таким образом, роль координатных условий в получении решений чисто вспомогательная, и, как только решение найдено, координатные условия можно отбросить. Однако нельзя найти решения, не наложив вначале и не отбросив затем координатных условий.
